Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

ступает время. В краевых задачах в качестве независимой переменной
часто выступает длина.
Третий тип задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
– это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаются тем,
что кроме искомых функций
( )y x
и их производных в уравнения входят
дополнительно
m
неизвестных параметров
1 2
, ,..., ,
m
λ λ λ
которые называ-
ются собственными значениями. Для единственности решения на интер-
вале
[ ]
0
,
k
x x
необходимо задать
n m
+
граничных условий.
Сформулируем задачу Коши. Пусть дано дифференциальное урав-
нение
( , )
dy
f x y
dx
=
и начальное условие
0 0
( ) .y x y
=
Требуется найти функцию
( ),y x
удовле-
творяющую как указанному уравнению, так и начальному условию.
Обычно численное решение этой задачи получают, вычисляя сначала
значение производной, а затем, задавая малое приращение
и переходя
к новой точке
1 0
.x x h
= +
Положение новой точки определяется по накло-
ну кривой, вычисленному с помощью дифференциального уравнения.
Таким образом график численного решения представляет собой после-
довательность коротких прямолинейных отрезков, которыми аппрокси-
мируется истинная кривая
( ).y f x
=
Сам численный метод определяет
порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.
Выделяют две основные группы методов решения задачи Коши:
1. Одношаговые методы, в которых для нахождения следующей
точки на кривой
( )y f x
=
требуется информация лишь об одном преды-
дущем шаге. Одношаговыми являются метод Эйлера и методы Рун-
ге-Кутта.
2. Методы прогноза и коррекции (многошаговые), в которых для
отыскания следующей точки кривой требуется информация более чем
об одной из предыдущих точек. Чтобы получить достаточно точное чис-
ленное значение, часто прибегают к итерации. К числу таких методов
относятся методы Милна, Адамса-Башфорта и Хемминга.
7.1. Погрешности
Выделяют три основных источника погрешностей, связанных с
численной аппроксимацией:
1. Погрешность округления обусловлена ограничениями на пред-
ставление чисел в используемой ЭВМ, так как для любой из них число

Страницы