Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

При формулировке задачи Коши система (7.3) дополняется началь-
ными условиями. Рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа
(7.3)
0 0
( )
( , ), ( ) .
dy x
f x y y x y
dx
= =
(7.4)
В окрестности точки
0
x
функцию
( )y x
разложим в ряд Тейлора
2
' ''
0
0 0 0 0
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...
2
x x
y x y x x x y x y x
−
= + − + +
(7.5)
который можно применить для приближенного определения искомой
функции
( ).y x
В точке
0
x h
+
при малых значениях
h
можно ограничить-
ся двумя членами ряда (7.5)
' 2
0 0 0
( ) ( ) 0( ),y x h y hy x h
+ = + +
(7.6)
где
– бесконечно малая величина порядка
2
.h
Заменим производ-
ную
'
0
( ),y x
входящую в формулу (7.6), на правую часть уравнения (7.4)
0 0 0 0
( ) ( , ).y x h y hf x y
+ +
;
(7.7)
Теперь приближенное решение в точке
1 0
x x h
= +
можно вновь рассмат-
ривать как начальное условие и по формуле (7.7) найти значение иско-
мой функции в следующей точке
2 1
.x x h
= +
В результате получен про-
стейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом
Эйлера, или методом ломаных. Последнее название связано с геометри-
ческой интерпретацией процесса (рис. 7.1); искомую функцию
( )y x
за-
меняем ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к
этой функции в узлах
0 1
, ,... .x x
Формула (7.7) может быть получена из других соображений. Заме-
ним производную в левой части уравнения (7.4) приближенным конеч-
но-разностным отношением
0 0
0 0
( ) ( )
( , ).
y x h y x
f x y
h
+ −
;
Нетрудно видеть эквивалентность последнего выражения с алго-
ритмом Эйлера (7.7).

Страницы