Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 7.1. Метод Эйлера
На каждом шаге метода Эйлера решение
( )y x
определяется с по-
грешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональ-
ных
h
в степени выше первой. Это означает, что метод Эйлера имеет
второй порядок локальной погрешности. Глобальная погрешность име-
ет первый порядок. При постоянном шаге
h
для оценки глобальной по-
грешности применима первая формула Рунге (6.15)
0
( )
,
1
h kh
p
y y x
R
k
−
=
−
(7.8)
где
( )
h
y x
– приближенное решение дифференциального уравнения в
точке
,x
полученное с шагом
;h
( )
kh
y x
– приближенное решение того же
уравнения с шагом
;kh
p
– порядок метода.
Формула (7.8) позволяет опытным путем определить шаг
,h
обеспе-
чивающий требуемую точность решения
Так же, как и при вычис-
лении определенных интегралов, можно осуществлять автоматическое
изменение шага в процессе интегрирования дифференциального уравне-
ния.
Для уточнения решения применима вторая формула Рунге (6.16)
0
( ) ( ) .
уточн h
y x y x R
= +
(7.9)
Формула Эйлера (7.7) обобщается для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, записанных в форме Коши (7.3) с начальны-
ми условиями
0 0 10 0
( ) ( , ,..., )
i oi n
y x h y hf x y y
+ = +
. (7.10)
Метод Эйлера дает сравнительно низкую точность, так как имеет
первый порядок.
7.3. Пример 8

Страницы