Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2 1i i
u K u
= Ч
.
7.6. Методы Рунге-Кутта второго порядка
Для уменьшения погрешности метода интегрирования обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, использующего разложение иско-
мого решения в ряд Тейлора (7.5), необходимо учитывать большее ко-
личество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость ап-
проксимации производных от правых частей уравнений. Основная идея
методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксими-
руются через значения функции
( , )f x y
в точках на интервале
[ ]
0 0
,x x h
+
,
которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду
Тейлора. В зависимости от старшей степени
h
, с которой учитываются
члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутта разных по-
рядков точности.
Для второго порядка получено однопараметрическое семейство
схем вида
( )
3
0 0 0 0 0 0
( ) 1 ( ), 0( ),y x h y h L f Lf x h y f h h
γ γ
+ = + − + + + +й щ
л ы
(7.11)
где
0
<
1L
Ј
– свободный параметр,
1
0 0 0
( , ), (2 ) .f f x y L
γ
−
= =
Локальная погрешность схем (7.11) имеет третий порядок, глобаль-
ная – второй. Решение уравнения, полученное по этой схеме, равномер-
но сходится к точному решению с погрешностью
2
0( )h
. Для параметра
L
наиболее часто используют значения
и
1L
=
.
Рис. 7.2. Метод Рунге-Кутта второго порядка (
L
= 0,5)
В первом случае формула (7.11) приобретает вид
[ ]
0 0 0 0 0 0
( ) ( , ) / 2,y x h y h f f x h y hf
+ = + + + +
(7.12)

Страницы