Моделирование систем. Учебное пособие. Яковенко П.Г. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

целое семейство методов решения дифференциальных уравнений пер-
вого порядка. Наиболее распространенным из них является метод чет-
вертого порядка. В тейлоровском разложении искомого решения
( )y x
учитываются члены, содержащие степень
h
до четвертой включитель-
но. После аппроксимации производных правой части уравнения
( , )f x y
получено семейство схем Рунге-Кутта четвертого порядка, из которых
наиболее используемой в вычислительной практике является следую-
щая:
5
0 0 1 2 3 4
( ) ( 2 2 ) / 6 0( ),y x h y k k k k h
+ = + + + + +
(7.14)
где
1 0 0
2 0 0 1
3 0 0 2
4 0 0 3
( , ),
( / 2, / 2),
( / 2, / 2),
( , ).
k hf x y
k hf x h y k
k hf x h y k
k hf x h y k
=
= + +
= + +
= + +
Схема (7.14) на каждом шаге
h
требует вычисления правой части
уравнения в четырех точках. Локальная погрешность имеет пятый поря-
док, глобальная – четвертый. Схема обобщается для систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, записанных в форме Коши.
По сравнению с методом Эйлера метод Рунге-Кутта четвертого по-
рядка имеет важное преимущество, так как обеспечивает более высокую
точность, которая с лихвой оправдывает дополнительное увеличение
объема вычислений. Более высокая точность метода Рунге-Кутта часто
позволяет увеличить шаг интегрирования
h
. Чтобы обеспечить высо-
кую эффективность вычислительного процесса величину
h
следует вы-
бирать именно из соображений максимальной допустимой ошибки на
шаге.
7.9. Пример 12
Проинтегрируем методом Рунге-Кутта четвертого порядка на от-
резке
[ ]
0, 0.5
дифференциальное уравнение
'
y x y
= +
с начальными усло-
виями
0 0
0, 1x y
= =
и шагом
0.1h
=
.
Для первого шага выполняются вычисления:

Страницы