Основы полупроводниковой электроники. Яровой Г.П - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

17
1.5. Движение частицы в одномерном
периодическом поле
В 1931 году Р.Крониг и В.Пенни предложили идеализиро-
ванную модель кристаллического тела. В этой модели кри-
сталл заменяется линейной цепочкой потенциальных ям, как
показано на рис. 1.7, где представлен также и потенциал, ре-
ально имеющий место в кристаллах.
Рис. 1.7. Потенциальная энергия электрона в линейной це-
почке атомов и соответствующая цепочка прямо-
угольных ям
U(x)
U
0
E
I II I II I
x
Рис. 1.8. Модель Кронига-Пенни с периодическим потенциалом
прямоугольной формы
Считаем, что энергия частицы E < U
0
. Уравнение Шре-
дингера будем решать для областей I и II:
18
.
)(2
,)(
;
2
,)(
2
0
2
2
2
2
1
h
h
EUm
DeCex
mE
BeAex
xx
xjxj
−
=+=
=+=
−
−
βψ
αψ
ββ
αα
(1.20)
По теореме Блоха решение уравнения Шредингера для пе-
риодического силового поля должно иметь вид:
jkx
exx
)()(
µψ= , (1.21)
где µ(x)- функция Блоха, периодичная с периодом a+b.
Тогда
.)(
,)(
)()(
2
)()(
1
xjkxjk
xkjxkj
DeCex
BeAex
+−−
+−−
+=
+=
ββ
αα
µ
µ
(1.22)
Свойство периодичности функции Блоха позволяет запи-
сать следующие периодические граничные условия:
.
,
),()(
),()0(
21
0
2
0
1
21
21
ba
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
ba
a
−
=
=
−=
=
µµ
µµ
µµ
µµ
(1.23)
Используя эти граничные условия, получаем однородную
систему уравнений:
.0)(
)()()(
,0)()()()(
,0
,0
)(
)()()(
)()()()(
=+
+−−+−−
=++−−+−−
=−−+
=−−+
+
−−+−−
+−−+−−
bjk
bjkakjakj
bjkbjkakjakj
Dejk
CejkBekjAekj
DjkcjkBkjAkj
DeCeBeAe
DCBA
β
βαα
ββαα
β
βαα
ββαα (1.24)
Требование равенства нулю определителя приводит к
уравнению:

Страницы