Оптимальное управление непрерывными динамическими системами. Заболотнов Ю.М. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

112
где
E
- единичная матрица,
λ
- скалярный параметр. Уравнение (П1.4) имеет ровно
n корней
i
λ
(
ni ,...1=
), которые называются собственными значениями матрицы
B
.
Найдем собственные значения матрицы
A
. Тогда
0)
1
det()det( =−
−
=− EBPPEA
λλ
. (П1.6)
Используя основные свойства определителя от суммы и произведения матриц [8],
найдем
0)det()det()
1
det()
11
det()
1
det( =−
−
=
−
−
−
=−
−
PEBPPPBPPEBPP
λλλ
.
Так как для невырожденной матрицы 0)det(
≠
P
и
0)
1
det( ≠
−
P
, то корни уравнений
(П1.5) и (П1.6) тождественно совпадают, а, следовательно, совпадают собственные
значения матриц
A
и
B
, что и требовалось доказать.
Как известно [8], каждому собственному значению
i
λ
( ni ,...1= ) матрицы
B
соответствует n -мерный собственный вектор
)(i
V
, который вычисляется исходя из
решения однородной системы линейных алгебраических уравнений
0
)(
)( =−
i
VE
i
B
λ
, (П1.7)
где
ni ,...1=
.
Утверждение 2. При проведении преобразования подобия (П1.4) собственные
вектора матрицы изменяются, причем собственные вектора матриц
A
и
B
связаны
соотношением
)()( i
P
C
i
V
= , (П1.8)
где
)(i
C
собственные вектора матрицы
A
, определяемые из соотношения
0
)(
)( =−
i
CE
i
A
λ
. (П1.9)
Таким образом, старые
)(i
V
и новые
)(i
C
( ni ,...1
=
) собственные вектора связаны
также, как старые y и новые
*
y
переменные состояния линейной динамической
системы (П1.2).

Страницы