ВУЗ:
Составители:
114
Матрицы, удовлетворяющие утверждению 3, называются матрицами простой
структуры [8].
Замечание. Если все собственные значения матрицы различны, то она подобна
диагональной матрице, то является матрицей простой структуры [8].
Утверждение 4. Если
B
- вещественная симметричная матрица, то есть
*
B
B= , где
*
B
- транспонированная матрица
B
, то она подобна диагональной
матрице, причем матрица преобразования является ортогональной
1*
PP
−
= [8].
Если матрица не обладает n линейно независимыми векторами, то она
обязательно имеет кратные собственные значения [8]. В этом случае матрица с
помощью подобного преобразования может быть приведена к форме Жордана
J
BP
P
=
−1
, где
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
n
nn
J
λ
δλ
δλ
δλ
δ
λ
0.........0
11
........0
..................
0...
33
00
0...0
22
0
0...00
11
, (П1.11)
где компоненты 0
=
i
δ
, если
1
+
≠
ii
λ
λ
, и 1
=
i
δ
, если
1+
=
ii
λ
λ
.
В жордановой форме (П1.11) обычно кратные собственные значения
располагаются рядом. Поэтому в матрице
J
имеются так называемые клетки
Жордана. Так, например, двум кратным собственным значениям
21
λ
λ
=
соответствует клетка Жордана вида
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
0
1
λ
λ
, трем кратным собственным
значениям
321
λ
λ
λ
== - клетка Жордана вида
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
3
2
1
00
10
01
λ
λ
λ
и т.д.
