Оптимальное управление непрерывными динамическими системами. Заболотнов Ю.М. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

113
Доказательство. Перепишем систему (П1.7) в виде
)()( i
V
i
i
BV
λ
= . Так как
преобразование (П1.4) можно записать в форме
1−
=
PA
P
B
, то отсюда получим
)()(
1
i
V
i
i
VPAP
λ
=
−
или, умножая слева, на
1
−
P
найдем
)(
1
)(
1
i
VP
i
i
VAP
−
=
−
λ
.
Сравнивая эту систему с системой (П1.9), найдем
)(
1
)( i
V
P
i
C
−
=
, что тождественно
(П1.8). Это и требовалось доказать.
Замечание. Собственный вектор матрицы всегда определяется с точностью до
множителя, так как он находится из решения линейной однородной системы (П1.7).
Поэтому всегда одну из компонент вектора
)(i
V
можно задать произвольно
(например, равной единицы), а остальные компоненты определить из системы
(П1.7).
Существенным при подобных преобразованиях является вопрос, к насколько
простому виду может быть приведена матрица
B
с помощью преобразования
подобия. Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Матрица
B
подобна диагональной матрицы в том и только в
том случае, если она имеет n линейно независимых собственных векторов.
Доказательство. Пусть
)(
,...
)1( n
VV
n -мерные собственные вектора матрицы
B
, соответствующие собственным значениям
n
λ
λ
,...
1
. Составим матрицу
V
из
собственных векторов
)(
,...
)1( n
VV
, как из столбцов
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
)(
i
VV
. Так как столбцы
матрицы линейно независимы, то 0)det(
≠
V
. Для каждого собственного вектора
)(i
V
справедливо соотношение
)()( i
V
i
i
BV
λ
= , где ni ,...1= . Запишем эти
соотношения в виде одного матричного равенства
D
V
BV
= , (П1.10)
где D - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят собственные
значения
n
λ
λ
,...
1
матрицы
B
. Умножим левую и правую часть равенства (П1.10)
слева на
1−
, тогда
D
BV
=
−1
. Таким образом, матрица
B
с помощью подобного
преобразования приведена к диагональному виду, что и требовалось сделать.

Страницы