ВУЗ:
Составители:
117
получить представление о фазовом портрете линейной системы (П2.1) не
находя ее решения и не анализируя уравнение касательных (П2.2),
определяя лишь тип особой точки системы. Французский математик
Пуанкаре А., анализируя решения системы (П2.1), показал, что линейная
система второго порядка с постоянными параметрами может иметь в
зависимости от собственных значений матрицы
B
только следующие
основные типы особых точек [10]
1. Если собственные значения
1
λ
и
2
λ
матрицы
B
комплексные с
положительными действительными частями, то особая точка называется
неустойчивым фокусом и фазовая траектория представляет особой
расскручивающуюся спираль (рис.4.1).
2. Если собственные значения
1
λ
и
2
λ
матрицы
B
комплексные с
отрицательными действительными частями, особая точка называется
устойчивым фокусом и фазовая траектория представляет особой
скручивающуюся спираль (рис. 4.2).
3. Если собственные значения
1
λ
и
2
λ
вещественны и
положительны, то особая точка называется неустойчивым узлом (рис. П 1).
Фазовая траектория системы в этом случае апериодически удаляется от
начала координат.
4. Если собственные значения
1
λ
и
2
λ
вещественны и отрицательны,
то особая точка называется устойчивым узлом. Она имеет такой же вид, что
и неустойчивый узел (рис. П 1), только фазовая траектория системы в этом
случае апериодически приближается к началу координат.
5. Если собственные значения
1
λ
и
2
λ
вещественны и разных
знаков, то особая точка называется седлом (рис.4). В нее входят и из нее
выходят две предельные траектории (сепаратрисы), остальные траектории
удаляются от особой точки.
