ВУЗ:
Составители:
16
2. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Подобные преобразования линейных динамических систем
При исследовании движения линейных динамических систем вида (1.8) часто
используются так называемые подобные преобразования. Пусть
P
- невырожденная
квадратная матрица (см. Приложение 1). Введем линейную замену переменных
*
yPy
=
. (2.1)
Рассмотрим преобразование системы (1.8), где матрицы
B
и m для простоты
будем считать постоянными, подставив замену (2.1) в соотношение (1.8). Тогда
umBPy
dt
dy
P Δ+=
*
*
,
или, умножая слева на обратную матрицу
1
−
P
, получим линейную систему
относительно новых переменных
*
y
umAy
dt
dy
**
*
+= , (2.2)
где
BP
P
A
1−
= , mPm
1
*
−
= , и для сокращения обозначений полагается uu
Δ
=
.
Определение. Преобразование матрицы
BP
P
1
−
, где квадратная матрица
P
не
вырожденна, называется подобным преобразованием.
Подобные преобразования матриц и, следовательно, линейных динамических
систем обладают рядом важных свойств (см. Приложение 1). В частности, при
подобных преобразованиях собственные значения матриц не изменяются. Пусть
n
λ
λ
,...
1
- собственные значения матрицы
B
, а
)(
,...
)1( n
VV
- соответствующие им
собственные вектора (см. Приложение 1). Введем матрицу
V
, столбцами которой
являются собственные вектора
)(
,...
)1( n
VV
. Рассмотрим случай, когда матрица
B
не
имеет кратных (одинаковых) собственных значений. В этом случае подобное
преобразование
BV
V
1−
приводит матрицу
B
к диагональному виду
BV
V
D
1
−
=
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
