ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12 Глава 1. Матрицы и определители
Для вычисления произведения AB
⊺
выпишем матрицы A и B
⊺
в явном виде
(см. пример 2.3 )
A =
1 0 −3
2 3 −2
, B
⊺
=
1 1 3
2 0 1
,
т.е. размерность этих матриц одинакова и равна 2 ×3. Отсюда следует, что про-
изведение вида AB
⊺
не существует, так как число столбцов матрицы A (первый
сомножитель), равное 3, не совпадает с числом строк матрицы B (второй со-
множитель), равным 2.
Теперь выпишем матрицы A
⊺
и B:
A
⊺
=
1 2
0 3
−3 −2
!
, B =
1 2
1 0
3 1
!
.
Отсюда следует, что произведение A
⊺
B также не существует, поскольку число
столбцов матрицы A
⊺
равно 2, а число строк матрицы B равно 3, т.е. число
столбцов не равно числу строк.
♦ Из примера видно, что произведение матриц не всегда определено, но
даже в тех случаях, когда оно существует, вопрос о перестано вочном свойстве
произведения двух матриц (т.е. AB = BA) имеет смысл ставить лишь для квад-
ратных матриц одинаковой размерности. Элементарные примеры показывают,
что даже в это м случае произведение матриц не обладает перестановочным
свойством.
Матрицы A и B называются коммутирующими, если для них выполня-
ется перестановочное соотношение AB = BA.
Пример 2.5. Пусть
A =
0 1
0 0
, B =
0 0
1 0
.
Найти AB и BA.
Решение. По определению,
AB =
1 0
0 0
, BA =
0 0
0 1
,
следовательно, AB 6= BA.
Пример 2.6. Пусть A = ka
j
k, B = kb
k
k, j, k = 1, n; A — мат рица-столбец, B —
матрица-строка. На йти произведения AB и BA.
Решение. По определению, AB = ka
j
b
k
k — n × n-матрица:
AB =
a
1
a
2
.
.
.
a
n
(
b
1
b
2
. . . b
n
) =
a
1
b
1
a
1
b
2
. . . a
1
b
n
a
2
b
1
a
2
b
2
. . . a
2
b
n
. . . . . . . . . . . .
a
n
b
1
a
n
b
2
. . . a
n
b
n
;
BA — число (1 × 1-матрица):
BA = (
b
1
b
2
. . . b
n
)
a
1
a
2
. . .
a
n
= b
1
a
1
+ b
2
a
2
+ . . . + b
n
a
n
=
n
X
j=1
b
j
a
j
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
