ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
14 Глава 1. Матрицы и определители
что и требовалось показать.
Величина δ
i
j
, определяемая соотношением
δ
i
j
=
1 i = j,
0 i 6= j,
называется символом Кронекера.
Квадратная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны
единице, а все остальные нулю, называется единичной матрицей соответству-
ющего порядка и обозначается
I = I
n
= E = E
n
=
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
= kδ
i
j
k
n×n
.
♦ Из определения символа Кронекера δ
i
j
следует, что для произвольного
набора чисел b
1
, . . . , b
n
справедливо
n
X
j=1
δ
i
j
b
j
= δ
i
j
b
j
= 0 ·b
1
+ 0 ·b
2
+ . . . + 0 ·b
i−1
+ 1 ·b
i
+ 0 ·b
i+1
+ . . . + 0 ·b
n
= b
i
. (2.8)
Именно в смысле соотношения (2.8) иногда говорят, что символ Кронекера
«снимает суммирование».
Свойство 5. Единичная матрица коммутирует с произвольно й квадратной мат-
рицей A того же порядка:
AI = IA.
Доказательство. Действительно,
AI =
n
X
l=1
a
j
l
δ
l
i
= ka
j
l
δ
l
i
k = ka
j
i
k.
♦ Для квадратных мат риц понятие произведения обобщается на операцию
возведения в целую положительную степень. Действительно,
AA = A
2
, A
2
A = A
3
, . . . , A
n−1
A = A
n
и т.д.
Пример 2.7. Вычислить A
n
, если
A =
1 2
0 1
.
Решение. Вычислим
A
2
= AA =
1 2
0 1
1 2
0 1
=
1 2 + 2
0 1
=
1 2 ·2
0 1
,
A
3
= A
2
A =
1 4
0 1
1 2
0 1
=
1 2 + 4
0 1
=
1 3 · 2
0 1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
