ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. Матрицы и действия над матрицами 13
Рассмотрим основные свойства произведения матриц. Из формулы (2.5) сле-
дует
Свойство 1. Умножение матриц ассоциативно: A(BC) = (AB)C.
♦ Здесь и в дальнейшем мы предполагаем, что рассматриваемые произве-
дения матриц имеют смысл.
Доказательство. Из определения (2.5 ) следует
A(BC)=
p
X
l=1
a
j
l
q
X
k=1
b
l
k
c
k
i
!
=
p
X
l=1
q
X
k=1
a
j
l
b
l
k
c
k
i
=
q
X
k=1
p
X
l=1
a
j
l
b
l
k
!
c
k
i
= (AB)C,
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Умножение матриц дистрибутивно по отношению к сложению,
т.е.
(A + B)C = AC + BC;
A(B + C) = AB + AC.
Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.
Свойство 3. Для всех x ∈ K справедливо соотношение
x(AB) = (xA)B = A(xB).
Доказательство аналогично доказательству предыдущего свойства.
Свойство 4. Справедливо соотношение
(AB)
⊺
= B
⊺
A
⊺
. (2.6)
Доказательство. Действительно, по определению
AB =
p
X
j=1
a
l
j
b
j
k
, A = ka
l
j
k, B = kb
j
k
k,
Обозначим
(AB)
⊺
= kc
k
l
k, A
⊺
= kd
j
l
k, B
⊺
= ke
k
j
k, (2.7)
где
d
j
l
= a
l
j
, e
k
j
= b
j
k
.
Тогда
c
k
l
=
p
X
j=1
a
l
j
b
j
k
.
Аналогично
B
⊺
A
⊺
=
p
X
j=1
e
k
j
d
j
l
= kf
k
l
k.
С учетом (2.7) получим
f
k
l
=
p
X
j=1
b
j
k
a
l
j
= c
k
l
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
