Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 15
A
4
= A
3
A =
1 6
0 1
1 2
0 1
=
1 2 + 6
0 1
=
1 4 · 2
0 1
.
Предположим, что верно соотношение
A
n
=
1 2
0 1
n
=
1 n · 2
0 1
. (2.9)
Тогда
A
n+1
=
1 2n
0 1
1 2 + 2n
0 1
=
1 2(n + 1)
0 1
.
Таким образом, с помощью метода математической индукции мы убедились,
что (2.9) справедливо.
Пример 2.8. Найти матрицу D = ABC, если
A =
0 0 1
1 1 2
2 2 3
3 3 4
, B =
−1 −1
2 2
1 1
!
, C =
4
1
.
Решение. Согласно свойству 1, матрицу D можно вычислить, используя следу-
ющий порядок сомножителей: D = A(BC) = (AB)C. Поскольку произведение
BC представляет собой матрицу-столбец 3 × 1, а произведение AB — матри-
цу размерности 4 × 2, то предпочтительней воспользоваться первой формулой
D = A(BC). Тогда
BC =
−1 −1
2 2
1 1
!
4
1
=
−5
10
5
!
и
D = A(BC) =
0 0 1
1 1 2
2 2 3
3 3 4
−5
10
5
!
=
5
15
25
35
= 5
1
3
5
7
.
Легко убедиться, что вычисление произведения в другом порядке значительно
увеличивает количество выкладок.
Пример 2.9. Найти значения полинома f(A) от матрицы A, если f(x) = 3x
2
−4
и
A =
2 1
0 3
.
Решение. Согласно условию задачи, полином имеет вид
f(A) = 3A
2
− 4I = 3
2 1
0 3
2
− 4
1 0
0 1
.
Выполнив указанные действия, получим
f(A) =
8 15
0 23
.

Страницы