Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 17
Решение. В первом случае число перестановок равно 2!: перестановки 12 и
21 различаются одной транспозицией чисел 1 и 2 . Для определения четности
(нечетности) каждой из них найдем для них число инверсий: P (12) = 0, P (21) =
1. Таким образом, перестановка 12 является четной, а 21 — нечетной. От сюда
следуют два важных вывода:
1) одна транспозиция меняет четность перестановки;
2) ко личество четных перестановок из двух чисел равно количеству нечет-
ных перестановок и равно 2!/2 = 1.
Для проверки этих выводов рассмотрим перестановку 123. Все возможные
перестановки для этого случая выписаны в примере 3.1. Определим количество
инверсий для каждой из них:
P (123) = 0, P (132) = 1, P (213) = 1,
P (231) = 2, P (312) = 2, P (321) = 3.
Как и в предыдущем случае, количество четных перестановок равно количеству
нечетных и равно 3 !/2 = 6/2 = 3. Кроме этого, заметим, что перестановка 123
— четная, а перестановка 132, получаемая из нее транспозицией чисел 2 и 3, —
нечетная. Далее, перестановка 312, получаемая из 132 транспозицией чисел 1
и 3, снова становится четной. Если принять во внимание, что перестановка 312
получается из 123 двойной транспозицией: сначала чисел 2 и 3, а затем чисел
1 и 3, то , как мы видели, обе перестановки 123 и 31 2 — четные, т.е. двойная
транспозиция сохраняет четность переста новки.
Этот пример подтверждает об а вывода, сделанных выше, и мы будем поль-
зоваться ими для любых перестановок.
Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:
A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . .
a
n
1
a
4
2
. . . a
n
n
. (3.1)
Число, полученное из элементов матрицы A по формуле
det A = |A| = |a
j
k
| =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
=
=
X
(−1)
P (k
1
,k
2
,...,k
n
)
a
k
1
1
· a
k
2
2
···a
k
n
n
, (3.2)
называется определителем n-го порядка, или определителем матрицы A при
n > 1. Здесь первые четыре выражения — обозначения определителя; сумми-
рование производится по всем возможным перестановкам k
1
, k
2
, . . . , k
n
.
♦ Другими словами, понятие об определителе (3.2) матрицы (3.1) можно
сформулировать следующим образом.
Определителем n-го порядка (3.2), соответствующим матрице (3 .1 ) , называ-
ется алгебраическая сумма n! слагаемых, составленная по правилу: слагаемыми
служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из
каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется с о знаком плюс,
если его верхние индексы составляют ч¨етную перестановку, и со знаком минус
в противном случае.
Нетрудно заметить, что количество слагаемых, входящих в сумму (3.2) со
знаками плюс и минус, одинаково и равно n!/2.

Страницы