Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 1. Матрицы и определители
3. Определитель и его свойства
3.1. Перестановки и определители
Перестановкой n чисел 1, 2, . . . , n (или n любых различных между собой
символов a
1
, a
2
, . . . , a
n
) называется любое расположение этих чисел (или симво-
лов) в определенном порядке.
♦ Так как данные n символов можно пронумеровать числами 1, 2, . . . , n, то
изучение перестановок любых n символов сводится к изучению перестановок
этих чисел.
♦ Число всех перестановок из n чисел равно
n! =
n
Y
k=1
k = 1 · 2 ···n.
По определению, 0! = 1.
Если в некоторой перестановке 1, 2, . . . , n поменять местами только два
числа, то такая операция над перестановкой называется транспозицией.
Очевидно, что все n! перестаново к можно получить некоторой последова-
тельностью транспозиций. Условимся все перестановки с n 6 9 записывать без
запятых.
Пример 3.1. Выписать все перестановки чисел 1, 2, 3.
Решение. Все перестановки чисел 1, 2, 3 имеют в ид 123, 132, 213, 231, 312, 321.
Количество таких перестановок 3! = 2 · 3 = 6.
Нетрудно заметить, что переход от переста новки 123 к 132 осуществляется
транспозицией чисел 2 и 3, а от перестановки 132 — транспозицией чисел 1 и 3
переходим к перестановке 312 и т.д.
Д ва числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит
впереди меньшего; если же меньшее стоит впереди большего, то — порядок.
Символом P (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) обозначим количество всех инверсий в перестановке
a
1
, a
2
, . . . , a
n
.
♦ Укажем способ подсчета количества инверсий в перестановке. Просмотрим
числа перестановки в порядке их записи (слева направо), для каждого из чисел
считаем, сколько чисел, меньших данного, стоит прав ее него, все полученные
величины складываем.
Пример 3.2. В перестановке 52 8371964 определить количество инверсий.
Решение. В перестановке 528371964 правее числа 5 стоят 4 числа, меньших 5:
это 2, 3, 1, 4. Аналогично для всех осталь ных чисел. В результате получим
P (52837 1964) = 4 + 1 + 5 + 1 + 3 + 2 + 1 = 17.
Перестановка называется четной, если она содержит четное число инвер-
сий, и нечетной в противном случае.
♦ Рассмотренная в примере 3.2 перестанов ка является нечетной, так как
содержит 17 инверсий.
Пример 3.3. Выписать все перестановки чисел 1, 2 и чисел 1, 2, 3, определив
число четных и нечетных перестановок.

Страницы