ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 19
−
◦ ◦ •
◦ • ◦
• ◦ ◦
−
◦ • ◦
• ◦ ◦
◦ ◦ •
−
• ◦ ◦
◦ ◦ •
◦ • ◦
(
3 2 1
) (
2 1 3
) (
1 3 2
)
(3.7)
либо ещ¨е одной мнемонической схемой (правилом Саррюса):
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
1
2
a
2
2
a
3
2
произведения со знаком (−)
z }| {
a
1
3
a
1
1
a
1
2
a
2
3
a
2
1
a
2
2
a
3
3
a
3
1
a
3
2
| {z }
произведения со знаком (+)
.
Пример 3.6. Пользуясь правилом Саррюса (3.7), вычислить определитель мат-
рицы
A =
2 2 1
1 2 1
3 1 0
!
.
Решение. Пользуясь правилом Саррюса, запишем
|A| =
2 2 1
1 2 1
3 1 0
= 2 · 2 · 0 + 1 · 1 ·1 + 2 · 1 · 3 − 3 · 2 · 1 − 1 · 2 ·0 − 1 · 1 · 2 =
= 0 + 1 + 6 − 6 − 0 −2 = −1.
3.2. Свойства определителей
Ра ссмотрим основные свойства определителей, которые непосредственно сле-
дуют из определения (3.2) . Подчеркнем при этом, что определитель det A яв-
ляется одной из важнейших характеристик квадратной матрицы A.
Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется,
т.е.
det A = det A
⊺
. (3.8)
Доказательство. Пусть дан определитель матрицы A:
det A = det ka
i
j
k
и пусть
A
⊺
= kb
j
i
k, b
j
i
= a
i
j
, i, j = 1, n. (3.9)
Ра ссмотрим произвольный член определителя матрицы A
(−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
···a
i
n
n
.
В силу соотношения a
i
j
= b
j
i
(3.9) можно записать
(−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
a
i
2
2
···a
i
n
n
= (−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
b
1
i
1
b
2
i
2
···b
n
i
n
.
Последнее выражение является слагаемым определителя A
⊺
. Таким образом,
каждому слагаемому определителя матрицы A отвечает равно е по величине и
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
