ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20 Глава 1. Матрицы и определители
знаку слагаемое определителя матрицы A
⊺
. Аналогично доказывается справед-
ливость обратного утверждения.
♦ Свойство 1 свидетельствует о равноправии строк и столбцов определите-
ля, т.е. любое утверждение, доказанное для столбцов, справедливо и для строк
и наоборот. Поэтому в дальнейшем мы будем доказывать свойства лишь для
столбцов определителя. Иногда термины «строка» и «столбец» объединяют на-
званием «ряд».
Пример 3.7. Пользуясь определением (3.4), вычислить определители матриц
A =
a b
c d
, A
⊺
=
a c
b d
.
Решение. По формуле (3.4) запишем
|A| =
a b
c d
= ad − bc.
Аналогично
|A
⊺
| =
a c
b d
= ad − bc =
a b
c d
.
Как и следова ло ожидать, det A = det A
⊺
.
Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов матрицы ее определи-
тель меняет знак на прот ив оположный, а абсолютная величина определителя
остается неизменной.
Доказательство. Пусть дан определитель
det A = |a
j
k
| =
a
1
1
. . . a
1
i
. . . a
1
k
. . . a
1
n
a
2
1
. . . a
2
i
. . . a
2
k
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
. . . a
n
i
. . . a
n
k
. . . a
n
n
. (3.10)
Обозначим через B матрицу, полученную из ма трицы A перестановкой двух
столбцов с номерами i и k. Если
a
j
1
1
···a
j
i
i
···a
j
k
k
···a
j
n
n
(3.11)
есть член определителя (3.10), то очевидно, что все сомножители и в определи-
теле ма трицы B остаются в разных строках и столбцах. Таким образом, det A
и det B состоят из одних и тех же членов, однако слагаемому (3.11) в опреде-
лителе матрице A соответствует перестановка
(j
1
, . . . , j
i
, . . . , j
k
, . . . , j
n
),
а в определителе матрицы B – перестановка
(j
1
, . . . , j
k
, . . . , j
i
, . . . , j
n
).
Поскольку эти перестановки различаются одной транспозицией, то они имеют
противоположную четность. Это означает, что все члены определителя матри-
цы A входят в определитель матрицы B с противоположными знаками, т.е.
det A = −det B.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
