ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 21
Пример 3.8. Пользуясь определением (3.4), вычислить о пределители мат риц
A =
a b
c d
, B =
b a
d c
,
отличающихся друг от друга перестановкой столбцов.
Решение. По формуле (3.1) запишем
|A| =
a b
c d
= ad − bc.
Аналогично
|B| =
b a
d c
= bc − ad = −
a c
b d
.
Как и следовало ожидать, det A = −det B.
Следствие 2.1. Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.
Доказательство. Поменяем местами одинаковые столбцы определителя. По-
сколь ку они одинаковы, определитель не изменится. С другой стороны, соглас-
но свойству 2, он изменит знак, т.е.
det A = −det A,
откуда следует, что det A = 0.
Свойство 3. Общий множитель некоторого столб ца определителя можно вы-
носить за знак определителя.
Доказательство. Пусть элементы некоторого столбца в определителе det A
имеют общий множитель α. Поскольку, согласно определению (3.2), в каждое
слагаемое определителя входит только один элемент из указанного столбца, то
все члены о пределителя содержат общий множитель α, кото рый можно вынести
за знак суммы в (3.2), откуда и следует справедливость свойства 3.
♦ Свойство 3 по зво ляет сформулировать прав ило умножения определителя
на число α, например, в форме
α
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
=
αa
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . . . .
αa
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
.
Аналогичное правило для умножения матрицы на число имеет вид
α
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
!
=
αa
1
1
αa
1
2
. . . αa
1
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
αa
n
1
αa
n
2
. . . αa
n
n
!
Сравнение этих соотношений позво ляет сделать вывод, что
det(αA) = α
n
det A, (3.12)
где n — порядок квадратной матрицы A. Это означает, что операция вычисле-
ния определителя (det) в общем случае нелинейна. Впрочем, при n = 1, т.е. для
произведения чисел, приходим к очевидному равенству
det(αA) = αA.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
