ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 23
Решение. Согласно определению,
det(A
1
+ A
2
) = det
a
1
+ a
2
b
1
+ b
2
c
1
+ c
2
d
1
+ d
2
.
Отсюда с учетом (3.13) и (3.1 4) найдем
det(A
1
+ A
2
) = det
a
1
b
1
c
1
+ c
2
d
1
+ d
2
+ det
a
2
b
2
c
1
+ c
2
d
1
+ d
2
=
= det
a
1
b
1
c
1
d
1
+ det
a
1
b
1
c
2
d
2
+ det
a
2
b
2
c
1
d
1
+ det
a
2
b
2
c
1
d
1
=
= det A
1
+ det A
2
+ det A
12
+ det A
21
,
что и требовалось показать.
♦ Свойство 4 распространяется на случай, когда (3.13) содержит более чем
два слагаемых.
Если элементы j-го столбца матрицы A можно выразить через элементы
других столбцов:
X
j
=
n
X
l=1
l6=j
α
l
X
l
, X
j
= ka
i
j
k
n×1
, (3.15)
то гово рят, что j-ый столбец представляет собой линейную комбинацию столб-
цов с номерами l, для которых α
l
6= 0.
♦ Если все α
l
(l 6= j) отличны от нуля, то j-ый столбец представляет собой
линейную комбинацию остальных (n −1) столбцов. Если только один из коэф-
фициентов α
l
отличен от нуля, то столбцы с номерами j и l пропорциональны.
Очевидно, что нулевой j-ый столбец всегда является линейной комбинацией
других при всех α
l
= 0.
Свойство 5. Если какой-либо столб ец определителя есть линейная комбина-
ция других его столбцо в, то определитель равен нулю.
Доказательство. Пусть для определенности j-ый столбец определителя пред-
ставляет собой линейную комбинацию других столбцов. Воспользова вшись свой-
ством 4, исходный определитель можно представит ь в виде суммы опреде-
лителей, имеющих одинаковые столбцы. Такие определители, согласно след-
ствию 2.1, равны нулю. Следовательно, и исходный определитель равен нулю.
Свойство 6. Определитель не изменится, если к одному из его столбцов при-
бавить любую линейную комбинацию других столбцов.
Доказательство. Пусть к j-му столбцу определителя прибавляется любая ли-
нейная комбинация других его столбцов (j-ый столб ец в линейной комбинации
не участвует). Воспользовавшись свойством 4, такой определитель можно пред-
ставить в виде суммы определителей, первый из которых будет совпадать с ис-
ходным, а остальные будут иметь одинаковые столбцы, т.е. будут равны нулю,
что и требовалось доказать.
Последние два свойства для практических приложений, например для вы-
числения определителей, представляют наибольшую ценность. Кроме того, свой-
ство 5 определяет самые общие требования, при которых определитель обра-
щается в нуль.
В заключение сформулируем еще одно свойство, которое докажем несколько
позже, поскольку его доказат ельство в рамка х определения (3.2) достаточно
громоздко.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
