ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 25
♦ Дополнительный минор M к минору 1-го порядка, которым является неко-
торый элемент квадратной матрицы A, есть определитель матрицы, полученной
из этой матрицы вычеркиванием одной строки и одного столбца, на пересечении
которых стоит выделенный элемент, т.е. минор 1-го порядка. Его еще называют
минором элемента a
i
j
.
Пусть M — минор матрицы A, а M — его дополнительный минор. Если
в качестве исходного выбрать минор M, то дополнительным ему будет минор
M. Таким образом, миноры M и M образуют пару взаимно дополнительных
миноров.
Алгебраическим дополнением к минору M порядка k, расположенному в
строках с номерами i
1
, i
2
, . . . , i
k
и столбцах с номерами j
1
, j
2
, . . . , j
k
, называется
число
A
i
1
,i
2
,...,i
k
j
1
,j
2
,...,j
k
= (−1)
S
M
M
i
1
,i
2
,...,i
k
j
1
,j
2
,...,j
k
, (3.17)
где M — дополнительный минор минора M, а S
M
— сумма номеров строк и
столбцов, в которых он расположен, т.е.
S
M
= i
1
+ i
2
+ . . . + i
k
+ j
1
+ j
2
+ . . . + j
k
. (3.18)
Алгебраическим допо лнением элемента a
i
j
(минора 1-го поря дка) матрицы A,
согласно определению, будет число
A
i
j
= (−1)
i+j
M
i
j
, (3.19)
где i, j – номера строки и столб ца , на пересечении которых стоит элемент a
i
j
и которые следует вычеркнуть из матрицы A для получения дополнительного
минора M
i
j
.
♦ Ч асто в качестве определения алгебраического дополнения A
i
j
выбирают
коэффициент при элементе a
i
j
в сумме (3.2). Ниже мы покажем, что эти опре-
деления эквивалентны.
♦ Согласно о пределению (3.17), алгебраическое дополнение и дополнитель-
ный минор к некоторому минору различаются только знаком.
Пример 3.10. Для матрицы
A =
1 0 1 2
4 1 2 6
0 1 2 1
1 3 2 4
выписать несколько миноров различных порядков и вычислить их алгебраиче-
ские дополнения.
Решение. Начнем с миноров 1-го порядка.
1. Выделим в матрице A, например, 2-ю строку и 3-й столбец. На их пересе-
чении стоит элемент a
2
3
= 2, тогда минор 1-го порядка M
2
3
совпадает с элементом
a
2
3
и равен 2, т.е.
M
2
3
= a
2
3
= 2.
Если выбранные строку и столбец вычеркнуть из матрицы A, то получится
матрица порядка 3, определитель которой M
2
3
и будет дополнительным мино-
ром к минору M
2
3
, т.е.
M
2
3
=
1 0 2
0 1 1
1 3 4
= −1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- …
- следующая ›
- последняя »
