ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
24 Глава 1. Матрицы и определители
Свойство 7. Определитель произведения двух квадратных матриц равен про-
изведению определителей перемножаемых ма триц, т.е.
det AB = det A det B. (3.16)
В заключение отметим, что, согласно определению, элементы матрицы при-
надлежат некото рому полю K. Из формулы (3.2) следует, что и элементы опре-
делителя det A есть элементы того же поля. Это означает, что определитель
det A можно рассматриват ь как функцию, определенную на множестве всех
квадратных матриц с элементами из поля K. Если попытаться построить функ-
цию, которая удовлетворяла бы требованиям, вытекающим из свойств 1, 3, 4 и
формулы (3.3), то окажется, что такая функция единственна и определяется со-
отношением (3.2). Такой подход в теории определителей называется аксиомати-
ческим. Существует другой подход, называемый индуктивным, к рассмотрению
которого мы сейчас и переходим.
3.3. Миноры и их алгебраические дополнения
Вычисление определителей по правилу (3.2) – весьма громоздкая и трудоем-
кая процедура (см. примеры 3.3 и 3.4). Тот факт, что для вычисления определи-
теля 4-го порядка нужно выписать 4! = 24 слагаемых, а для определителя 5-го
порядка – уже 5! = 120, делает эту формулу малопригодной для практических
расчетов.
Существенно упростить задачу вычисления определителей позволяет так на-
зываемый индуктивный подход. Смысл этого подхода заключается в том, что в
качестве определителя матрицы первого порядка выбирается е¨е единственный
элемент. Определитель матрицы 2-го порядка вычисляется, например, по из-
вестной уже формуле (3.4). О днако этой формуле теперь придается иной смысл:
ее рассматривают как соотношение, устанавливающее связь между определи-
телем 2-го порядка и определителем 1-го поря дка. Да лее определитель 3-го
порядка вычисляется уже не по формуле (3.6), а по правилу, сформулирован-
ному для связи определителей 2-го и 1-го порядков. Затем определитель n-го
порядка по индукции выражается через определители (n−1)-го порядка. После
того как общее правило сформулировано, им можно воспользоваться для того,
чтобы вычисление определителя n-го порядка свести к вычислению определи-
телей (n − 1)-го порядка, затем (n − 2)-го и так далее, вплоть до определителя
1-го порядка.
Оказывается, такой подход значительно упрощает в ычисление определите-
лей, в чем можно убедиться на конкретных примерах. Для реализации этого
подхода сформулируем некоторые необходимые понятия.
Пусть det A — определитель матрицы A порядка n. Выберем некоторое число
k, такое, что 1 6 k 6 n −1, и в матрице A в ыделим k произвольно выбранных
столбцов и строк.
Минором M (от латинско го “minor” — меньший) k-го порядка матрицы A
называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов мат-
рицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов
с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор
M, совпадают с но мерами строк, то этот минор называется главным.
♦ Каждая матрица A порядка n имеет (C
k
n
)
2
миноров k-го порядка. Мино-
рами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.
Дополнительным минором M к минору M квадратной матрицы A на-
зывается определитель такой матрицы порядка (n − k), которая получена из
матрицы A вычеркиванием тех k строк и k столбцов, в кото рых расположен
минор M.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
