ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22 Глава 1. Матрицы и определители
Следствие 3.1. Если некоторый сто лбец матрицы состоит из нулей, то опре-
делитель этой матрицы равен нулю.
Доказательство непосредственно следует из свойства 3, так как нулевой стол-
бец можно рассматривать как некоторый столбец, умноженный на нуль. Вынеся
общий множитель, убеждаемся в справедливости утверждения.
Следствие 3.2. Определитель, содержащий два пропорциональных столбца,
равен нулю.
Доказательство. Пусть элементы i-го столбца определителя получаются умно-
жением соответствующих элементов k-го столбца на число α. Вынеся этот об-
щий множитель i-го столбца за знак определителя, мы получим определи-
тель, содержащий два одинаковых столбца. Такой определитель, согласно след-
ствию 2.1, равен нулю.
Свойство 4. Если элементы j-го столбца матрицы A представляют собой сум-
му
a
l
= αb
l
+ βc
l
, l = 1, n, (3.13)
то
det A = α det B + β det C. (3.14)
Здесь α и β — некото рые числа, а матрицы B и C получены из матрицы A
заменой столбца a
l
j
столбцом из элементов b
l
и c
l
, соответственно.
Доказательство. Согласно о пределению (3.2), имеем
det A =
X
(−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
···a
i
j
j
···a
i
n
n
или с учетом (3.13)
det A =
X
(−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
···(αb
i
j
+ βc
i
j
) ···a
i
n
n
=
=α
X
(−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
···b
i
j
···a
i
n
n
+
+ β
X
(−1)
P (i
1
,i
2
,...,i
n
)
a
i
1
1
···c
i
j
···a
i
n
n
= α det B + β det C,
что и требовалось доказать.
♦ Формулу (3.14) иногда ошибочно используют не в предположении (3.13)
для столбцов , а в предположении для ма триц: A = αB + βC. В этом случае
det(αB + βC) 6= α det A + β det C.
Поскольку, во-первых, согласно (3.12), постоянный множитель нельзя выносить
за знак det, а во-вторых,
det(A + B) 6= det A + det B.
Пример 3.9. Показать, что для матриц
A
1
=
a
1
b
1
c
1
d
1
, A
2
=
a
2
b
2
c
2
d
2
выполняется равенство
det(A
1
+ A
2
) = det A
1
+ det A
2
+ det A
12
+ det A
21
,
где
A
12
=
a
1
b
1
c
2
d
2
, A
21
=
a
2
b
2
c
1
d
1
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
