Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

28 Глава 1. Матрицы и определители
Тогда алгебраическое дополнение A
1,3,4
1,2,4
минора M
1,3,4
1,2,4
, согласно определению
(3.17), найдется как
A
1,3,4
1,2,4
= (−1)
1+3+4+1+2+4
M
1,3,4
1,2,4
= (−1)
15
a
2
3
= −2.
Нетрудно заметить, что в данном случае пару взаимно дополняющих миноров
будут составлять миноры M
1,3,4
1,2,4
и M
1,3,4
1,2,4
= a
2
3
. Найдем их произведения на свои
алгебраические дополнения:
M
1,3,4
1,2,4
A
1,3,4
1,2,4
= M
1,3,4
1,2,4
(−1)
1+3+4+1+2+4
M
1,3,4
1,2,4
= (−1)
15
M
1,3,4
1,2,4
a
2
3
= (−1)
15
2 = 2,
a
2
3
A
2
3
= a
2
3
(−1)
2+3
M
2
3
= (−1)
5
M
1,3,4
1,2,4
a
2
3
= (−1)
5
2 = 2.
Полученное равенство произведений находится в соответствии с т ем, что произ-
ведение взаимно дополнительных миноров на свои алгебраические дополнения
равны. Этим свойством мы б удем пользоваться в дальнейшем для вычисления
определителей, доказав его в общем виде.
Пример 3.11. Для матрицы
A =
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
1) выписать все возможные миноры и вычислить их алгебраические допо лне-
ния;
2) записать значение det A через эти миноры и их алгебраические до по лнения.
Решение. Для матрицы 2-го порядка существуют лишь четыре минора 1-го
порядка, совпадающие с самими элементами матрицы, т.е.
M
1
1
= a
1
1
, M
1
2
= a
1
2
, M
2
1
= a
2
1
, M
2
2
= a
2
2
.
Их дополнительные миноры имеют вид
M
1
1
= a
2
2
, M
1
2
= a
2
1
, M
2
1
= a
1
2
, M
2
2
= a
1
1
и соответственно алгебраические дополнения
A
1
1
= (−1)
1+1
M
1
1
= a
2
2
, A
1
2
= (−1)
1+2
M
1
2
= −a
2
1
,
A
2
1
= (−1)
2+1
M
2
1
= −a
2
2
, A
2
2
= (−1)
2+2
M
2
2
= a
1
1
.
Для решения второй части задачи воспользуемся формулой (3 .2):
det A =
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
= a
1
1
a
2
2
− a
1
2
a
2
1
.
Тогда с учетом найденных выше алгебраических дополнений определитель det A
можно представить следующими четырьмя формулами:
det A =
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
= M
1
1
A
1
1
+ M
1
2
A
1
2
= M
2
1
A
2
1
+ M
2
2
A
2
2
=
= M
1
1
A
1
1
+ M
2
1
A
2
1
= M
1
2
A
1
2
+ M
2
2
A
2
2
, (3.20)

Страницы