ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30 Глава 1. Матрицы и определители
M
2,3
1,3
=
a
2
1
a
2
3
a
3
1
a
3
3
= a
2
1
a
3
3
− a
2
3
a
3
1
,
M
2,3
2,3
=
a
2
2
a
2
3
a
3
2
a
3
3
= a
2
2
a
3
3
− a
2
3
a
3
2
.
Их дополнительные миноры и алгебраические дополнения имеют вид
M
2,3
1,2
= a
1
3
, A
2,3
1,2
= (−1)
2+3+1+2
M
2,3
1,2
= a
1
3
;
M
2,3
1,3
= a
1
2
, A
2,3
1,3
= (−1)
2+3+1+3
M
2,3
1,3
= −a
1
2
;
M
2,3
2,3
= a
1
1
, A
2,3
2,3
= (−1)
2+3+2+3
M
2,3
2,3
= a
1
1
.
Тогда искомое разложение запишется как
det A =
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
= M
2,3
1,2
A
2,3
1,2
+ M
2,3
1,3
A
2,3
1,3
+ M
2,3
2,3
A
2,3
2,3
=
= (a
2
1
a
3
2
− a
2
2
a
3
1
)a
1
3
− (a
2
1
a
3
3
− a
2
3
a
3
1
)a
1
2
+ (a
2
2
a
2
3
− a
2
3
a
3
2
)a
1
1
. (3.22)
Ра скрыв скобки, приходим к формуле (3.6), выражающей определитель непо-
средственно через элементы матрицы a
i
j
.
Интересно о тметить, что поскольку пары миноров
M
2,3
1,2
, a
1
3
; M
2,3
1,3
, a
1
2
; M
2,3
2,3
, a
1
1
являются взаимно дополнительными, то их произведения на свои алгебраиче-
ские дополнения равны. Тогда разложение (3.22) можно переформулировать в
более привычное разложение по первой строке:
det A = M
2,3
1,2
A
2,3
1,2
+ M
2,3
1,3
A
2,3
1,3
+ M
2,3
2,3
A
2,3
2,3
= a
1
1
A
1
1
+ a
1
2
A
1
2
+ a
1
3
A
1
3
.
Любопытно, что иногда именно разложение по нескольким строкам (столбцам)
позволяет быстрее вычислить определитель, чем разложение по одной строке.
Ра ссмотрим соответствующий пример.
Пример 3.13. Для матрицы
A =
1 −3 −1 2
0 1 3 0
3 −3 −1 4
0 2 −1 0
найти значение det A.
Решение. Выделим в матрице A 2-ю и 4-ю строки, удачно содержащие нули.
Тогда из шести (C
2
4
= 6) миноров 2-го порядка, расположенных в этих строках,
только один
M
2,4
2,3
=
1 3
2 −1
= −7
отличен от нуля. Остальные миноры о бращаются в нуль, посколь ку обязательно
содержат нулевой столбец.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
