ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32 Глава 1. Матрицы и определители
— произвольный член дополнительного минора M
1,2,...,k
1,2,...,k
, где
¯
l — число инверсий
в перестановке (j
k+1
, j
k+2
, . . . , j
n
), т.е.
¯
l = P (j
k+1
, j
k+2
, . . . , j
n
).
Перемножив (3.25) и (3.26), получим произведение n элементов с множите-
лем (−1)
l+
¯
l
:
(−1)
l+
¯
l
a
1
i
1
a
2
i
2
···a
k
i
k
a
k+1
j
k+1
a
k+2
j
k+2
···a
n
j
n
, (3.27)
расположенных в разных строках и столбцах определителя det A. Это означает,
что произведение (3.27) действительно есть, с точностью до знака, некоторое
слагаемое определителя, определяемое формулой (3.2).
Покажем теперь, что знак множителя (−1)
l+
¯
l
, с которым это слагаемое вхо-
дит в произведение M
1,2,...,k
1,2,...,k
A
1,2,...,k
1,2,...,k
, совпадает со знаком, с которым оно входит
в определитель det A. Действительно, согласно формуле (3.2), слагаемое
(−1)
L
a
1
i
1
a
2
i
2
···a
k
i
k
a
k+1
j
k+1
a
k+2
j
k+2
···a
n
j
n
входит в det A именно со знаком (−1)
L
, где L — число инверсий в перестановке
(i
1
, i
2
, . . . , i
k
, j
k+1
, j
k+2
, . . . , j
n
), т.е.
L = P (i
1
, i
2
, . . . , i
k
, j
k+1
, j
k+2
, . . . , j
n
).
При подсч¨ете числа инверсий L учт¨ем, что все i не больше k, а все j не мень-
ше k + 1, поэтому при всех значениях индексов i
l
и j
m
первые k элементов
перестановки не могут образовать инверсию по отношению к последующим ее
элементом. Следовательно, число инверсий L совпадает с числом инверсий l+
¯
l,
что и доказывает рассматриваемый нами частный случай.
Пусть теперь минор M k-го порядка расположен произвольно в строках с
номерами i
1
< i
2
< . . . < i
k
и столбцах с номерами j
1
< j
2
< . . . < j
k
. В этом
случае
S
M
= i
1
+ i
2
+ . . . + i
k
+ j
1
+ j
2
+ . . . + j
k
.
Переставив строки и столбцы определителя, переместим минор M в в ерхний
левый угол так, чтобы он занял первые k строк и сто лб цов. Тогда дополни-
тельный минор M займ¨ет правый нижний угол с номерами строк и столбцов
k + 1, k + 2, . . . , n, как в рассмотренном выше случае. Подсчитаем число транс-
позиций строк и столбцов, которые следует совершить для получения такой
ко нфигурации определителя det A. Для того чтобы i
1
-ая строка стала 1-й стро-
ко й, нужно переставить е¨е сначала с (i
1
− 1)-ой строкой, затем с (i
1
− 2)-ой и
т.д., пока она не займ¨ет место первой строки. Очевидно, что число транспози-
ций равно i
1
−1. Аналогично число транспозиций, переводящих i
2
-ю строку на
место 2-ой, рав но i
2
− 2. Таким образом, следует совершить
(i
1
− 1) + (i
2
− 2) + . . . + (i
k
− k) = (i
1
+ i
2
+ . . . + i
k
) − (1 + 2 + . . . + k)
траспозиций строк. Аналогично следует совершить
(j
1
− 1) + (j
2
− 2) + . . . + (j
k
− k) = (j
1
+ j
2
+ . . . + j
k
) − (1 + 2 + . . . + k)
транспозиций столбцов.
Так как мы переставляли лишь соседние строки и столбцы, то взаимное
расположение элементов в минорах M и M не изменилось, однако в новом
определителе det A
′
они являются главными минорами, занимая верхний левый
и нижний правый углы соответственно. Поско льку определитель det A
′
получен
из определителя det A путем
(i
1
+ i
2
+ . . . + i
k
) + (j
1
+ j
2
+ . . . + j
k
) −2(1 + 2 + . . . + k) = S
M
−2(1 + 2 + . . . + k)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- …
- следующая ›
- последняя »
