ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 31
Дополнительный минор и алгебраическое дополнение к минору M
2,4
2,3
имеют
вид
M
2,4
2,3
=
1 2
3 4
= −2, A
2,4
2,3
= (−1)
2+4+2+3
M
2,4
2,3
= −
1 2
3 4
= 2.
Тогда
det A = M
2,4
2,3
A
2,4
2,3
или в подробной записи
1 −3 −1 2
0 1 3 0
3 −3 −1 4
0 2 −1 0
= −
1 3
2 −1
1 2
3 4
= 14.
Обратимся теперь к определителям произвольного порядка n.
Лемма 3.1. Для к вадратной матрицы
A =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
a
2
1
a
2
2
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . .
a
n
1
a
4
2
. . . a
n
n
(3.23)
произведение любого минора k-го порядка на его алгебраическое дополнение есть
сумма, слагаемые которой являются элементами определителя det A, причем
знаки этих элементов совпадают с теми знаками, с какими они входят в со-
став det A, согласно формуле (3.2).
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда минор M
1,2,...,k
1,2,...,k
является
главным минором матрицы A, занимающим первые k строк и сто лб цов. Тогда
его дополнительный минор M
1,2,...,k
1,2,...,k
— также главный минор, расположенный
на последних (n − k) строках и столбцах с номерами k + 1, k + 2 , . . . , n, —
определяет алгебраическое дополнение
A
1,2,...,k
1,2,...,k
= (−1)
S
M
M
1,2,...,k
1,2,...,k
.
Число S
M
в выбранной конфигурации равно сумме
S
M
= 1 + 2 + . . . + k + 1 + 2 + . . . + k = 2(1 + 2 + . . . + k),
т.е. является ч¨етным. Тогда (−1)
S
M
= 1, и алгебраическое дополнение совпадает
с дополнительным минором, в результате чего
M
1,2,...,k
1,2,...,k
A
1,2,...,k
1,2,...,k
= M
1,2,...,k
1,2,...,k
M
1,2,...,k
1,2,...,k
. (3.24)
Пусть
(−1)
l
a
1
i
1
a
2
i
2
···a
k
i
k
(3.25)
— произвольный член минора M
1,2,...,k
1,2,...,k
, где l , согласно определению (3.2), — чис-
ло инверсий в перестановке (i
1
, i
2
, . . . , i
k
), т.е. l = P (i
1
, i
2
, . . . , i
k
). Пусть теперь
(−1)
¯
l
a
k+1
j
k+1
a
k+2
j
k+2
···a
n
j
n
(3.26)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
