ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 33
транспозиций строк и столбцов, то
det A
′
= (−1)
S
M
−2(1+2+...+k)
det A = (−1)
S
M
det A.
Это означает, что элементы определителя det A
′
отличаются от соответству-
ющих элементов определителя det A лишь знаком множителя (−1)
S
M
(ч¨етное
число 2(1+2+. . .+k) на знак не влияет). Отсюда с уч¨етом первой части леммы
следует, что произведение (−1)
S
M
det A = (−1)
S
M
MM = MA, т.е. произведение
минора на сво¨е алгебраическое дополнение состоит из некоторых элементов
определителя det A, взятых с теми знаками, кото рые они имеют, согласно опре-
делению (3.2), что и требовалось доказать.
Следствие 3.1.1. Если M и M — пара взаимно дополнительных миноров, то
их произведения на свои алгебраические дополнения равны.
Доказательство. Если миноры M и M взаимно дополнительные, то числа S
M
и S
M
имеют одинаковую ч¨етность. Действительно, номер всякой строки и всяко-
го столбца входят слага емыми только в одно из чисел S
M
или S
M
. В результат е
сумма S
M
+S
M
всегда равна общей сумме строк и столбцов определителя det A:
S
M
+ S
M
= (1 + 2 + . . . + n) + (1 + 2 + . . . + n) = 2(1 + 2 + . . . + n),
т.е. является ч¨етным числом. Отсюда и следует одинаковая ч¨етность чисел S
M
и S
M
.
Пусть A и A – алгебраические дополнения миноров M и M соответственно.
Тогда A = (−1)
S
M
M и A = (−1)
S
M
M. Отсюда с уч¨етом того, что (−1)
S
M
=
(−1)
S
M
, имеем MA = M A, что и требовалось дока зат ь.
Теорема 3.1. Определитель det A матрицы
A = ka
i
j
k
n×n
равен сумме произведений всех элементов произволь ной его строки на их ал-
гебраические дополнения
det A = a
i
1
A
i
1
+ a
i
2
A
i
2
+ . . . + a
i
n
A
i
n
=
n
X
j=1
a
i
j
A
i
j
. (3.28)
Доказательство. В матрице A выделим произвольную строку, например, с но-
мером i. Все элементы этой строки можно рассматривать как миноры 1-го по-
рядка. Пусть M
i
j
— дополнительные миноры этих элементов, а A
i
j
= (−1)
i+j
M
i
j
— их алгебраические дополнения. Как следует из леммы 3.1, произведение a
i
j
A
i
j
представляет собой сумму некото рых элементов определителя det A.
Ранее уже отмечалось, что дополнительный минор M
i
j
есть определитель
(n−1)-го порядка и, следовательно, каждое произведение a
i
j
A
i
j
содержит (n−1)!
слагаемых.
Рассмотрим теперь непосредственно сумму (3.28). Очевидно, что никакой
элемент определителя не может входить в состав двух различных слагаемых
этой суммы. Действительно, все слагаемые, входящие в первый член a
i
1
A
i
1
, со-
держат элемент a
i
1
i-й строки и поэтому отличаются от слага емых, входящих
в произведение a
i
2
A
i
2
и содержащих элемент той же строки a
i
2
, и т.д. Нетрудно
установить, что общее число слагаемых суммы (3.28) равно n(n − 1)! = n!. Но
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
