ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34 Глава 1. Матрицы и определители
этим исчерпываются все элементы определителя det A вообще. Таким образом,
сумма (3.28) совпадает с суммой из определения (3.2).
Формула (3.28) называется разложением определителя по элементам i-ой
строки. Аналогично можно получить формулу
det A = a
1
i
A
1
i
+ a
2
i
A
2
i
+ . . . + a
n
i
A
n
i
=
n
X
j=1
a
j
i
A
j
i
, (3.29)
называемую раз ложением определителя по элементам i-го столбца.
♦ Отметим, что теорему 3.1 можно рассматривать как формулировку тожде-
ственности разложений (3.28) и (3.2), т.е. если определить det A соотношением
(3.28), то из него следует справедливость разложения (3.2). В неко торых спе-
циальных курсах линейной алгебры так и поступают: для определения det A
используют только разложение (3.28), совершенно не о бращаясь к аксиомати-
ческой формуле (3.2). При этом все доказанные выше свойства определителей
легко получаются из формул ( 3.28) и (3.29). Ниже мы покажем, как это можно
сделать, но предварительно рассмотрим теорему, которая является обобщением
теоремы 3.1 и называется теоремой Лапласа.
Теорема 3.2 (Лапласа). Определитель det A матрицы
A = ka
i
j
k
n×n
равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, расп оложенных в про-
извольно выбранных k строках (столбцах) матрицы A, на их алгебраические
дополнения.
Доказательство. Выделим произвольно в матрице A строки, например, с но-
мерами i
1
, i
2
, . . . , i
k
. Число миноров k-го порядка, расположенных в этих стро-
ках, равно числу сочетаний C
k
n
= n!/[k!(n − k)!]. С другой стороны, сам минор
содержит k! слагаемых. Если M — дополнительный минор минора M, то он, в
свою очередь, содержит (n − k)! слагаемых. Такое же число слагаемых содер-
жит и алгебраическое дополнение минора M. Таким образом, число слагаемых
суммы произведений всех миноров k-го порядка на свои алгебраические допол-
нения определяется выражением
C
k
n
k!(n − k)! =
n!
k!(n − k)!
k!(n − k)! = n!,
что совпадает с числом слагаемых определителя det A.
Рассуждая далее так же, как и при доказательстве теоремы 3.1, мы прид¨ем
к выводу, что, выбрав в качестве M в произведении MA все миноры k-го по-
рядка, расположенные в заданных строках, мы получим указанные выше n!
слагаемые, совпадающие со слагаемыми определителя det A из формулы (3.2),
что и требовалось доказать.
Следствие 3.2.1. Пусть в матрице A все элементы, стоящие в первых n стро-
ках и последних n − k столбцах, равны нулю:
A =
a
1
1
. . . a
1
k
0 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
k
1
. . . a
k
k
0 . . . 0
a
k+1
1
. . . a
k+1
k
a
k+1
k+1
. . . a
k+1
n
a
n
1
. . . a
n
k
a
n
k+1
. . . a
n
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
