Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 1. Матрицы и определители
det B =
n
X
l=1
a
l
i
(−1)
i+1+l
M
l
i
= −
n
X
l=1
a
l
i
(−1)
i+l
M
l
i
= −det A,
что и требовалось доказать.
Пусть теперь i и j произвольны. Для матрицы B подсчитаем число транс-
позиций столбцов, после которых она совпадет с ма трицей A. Такую переста-
новку можно осуществить, переставив соседние столбцы. Сначала j-й стол-
бец (нумерация по матрице B) переставим последовательно с (j − i) столб-
цами слева от него. Затем i-й столбец переставим на место j-го, поменяв его
местами с каждым (j − i − 1)-ым столбцом справа. Всего будет проделано
(j − i) + (j − i − 1) = 2(j − i) − 1 транспозиций столбцов. Но тогда, как было
показано выше,
det B = (−1)
2(j−i)−1
det A = −det A,
что и требовалось доказать.
Доказательство свойства 4. Пусть, как и ранее, элементы j- го столбца мат-
рицы A представляют собо й сумму
a
l
j
= αb
l
+ βc
l
.
Тогда, разложив det A по этому сто лб цу, имеем
det A =
n
X
l=1
a
l
j
A
l
j
=
n
X
l=1
(αb
l
+ βc
l
)A
l
j
=
= α
n
X
l=1
b
l
A
l
j
+ β
n
X
l=1
c
l
a
l
j
= α det A + β det C,
где матрицы B и C получаются из матрицы A заменой столбца a
l
j
столбцом из
элементов b
l
и c
l
, соответственно.
Доказательство свойства 7. Пусть A и B — две квадратные матрицы размера
n. Рассмотрим вспомогательную квадратную матрицу размера 2n
C =
a
1
1
a
1
2
. . . a
1
n
0 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n
0 . . . 0
−1 0 . . . 0 b
1
1
. . . b
1
n
0 −1 . . . 0 b
2
1
. . . b
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . −1 b
n
1
. . . b
n
n
.
Исходя из следствия 3.2.1 теоремы Л апласа, имеем
det C =
a
1
1
. . . a
1
n
. .
a
n
1
. . . a
n
n
!
b
1
1
. . . b
1
n
. .
b
n
1
. . . b
n
n
!
= det A det B.
С другой стороны, над определителем det C можно выполнить следующие
преобразования, не меняющие его значения. К элементам 1 -ой строки прибавим
элементы (n + 1)-о й, умноженные на a
1
1
; затем элементы (n + 2)-ой, умножен-
ные на a
1
2
, и т.д. Далее к элементам 2-ой строки прибавим элементы (n + 1)-о й,

Страницы