Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 37
умноженные на a
2
1
, затем элементы (n + 2)-ой, умноженные на a
2
2
, и т.д. Ана-
логичные преобразования проделываем с 3-ей строкой, 4-ой и, наконец, n-ой. В
результате получим определитель вида
det C =
0 . . . 0
n
X
i=1
a
1
i
b
i
1
. . .
n
X
i=1
a
1
i
b
i
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0
n
X
i=1
a
n
i
b
i
1
. . .
n
X
i=1
a
n
i
b
i
n
−1 . . . 0 b
1
1
. . . b
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . −1 b
n
1
. . . b
n
n
.
Полученный определитель, согласно следствию 3.2.2 теоремы Л апласа, равен
det C = (−1)
n
−1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 . . . −1
n
X
i=1
a
1
i
b
i
1
. . .
n
X
i=1
a
1
i
b
i
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
n
X
i=1
a
n
i
b
i
1
. . .
n
X
i=1
a
n
i
b
i
n
или с уч¨етом того, что второй определитель представляет собой определитель
произведения матриц A и B:
det C = (−1)
n
(−1)
n
det(AB) = det(AB).
Из сравнения двух значений det C получим
det A det B = det(AB),
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Свойство 7 легко обо бщается на случай, когда число слагаемых
больше двух:
det(ABC) = det(AB) det C = det A det B det C
и т.д. В частности,
det(A
k
) = (det A)
k
, k = 1, ∞.
Следствие 2. Справедливо соотношение
det(AB) = det A det B = det A
⊺
det B = det A det B
⊺
= det A
⊺
det B
⊺
,
кото ро е непосредственно следует из свойств 1 и 7.
Свойство 8. Сумма произведений всех элементов любого столбца определите-
ля на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца
равна нулю.

Страницы