ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
38 Глава 1. Матрицы и определители
Доказательство. Пусть в матрице A столбцы с номерами i и j одинаковы. То-
гда, как известно, det A = 0. С другой стороны, значение det A можно записать,
воспользовавшись его разложением по элементам j-го столбца:
det A =
n
X
l=1
a
l
j
A
l
j
= 0,
которое с уч¨етом равенства a
l
j
= a
l
i
(l = 1, n, i 6= j) можно записать как
det A =
n
X
l=1
a
l
j
A
l
j
=
n
X
l=1
a
l
i
A
l
j
= 0.
Перебрав все возможные пары i и j при условии i 6= j, убеждаемся в справед-
ливости утверждения.
♦ Последнее утверждение эквивалентно утверждению «определитель с дву-
мя одинаковыми столбцами равен нулю».
Пример 3.14. Показать, чт о для любой квадратной матрицы (a
i
j
) размера n
выполняются соотношения
n
X
i=1
a
i
j
A
i
k
= δ
jk
det A =
det A при j = k,
0 при j 6= k,
(3.30)
где A
i
k
— алгебраические дополнения элементов a
i
k
;
det(αA) = α
n
det A, (3.31)
где α — любое число.
Решение. Соотнош ение (3.30) непосредственно вытекает из свойства 8 и раз-
ложения (3.28). Соотношение (3.31) следует из цепочки равенств
det(αA) = det
αa
1
1
. . . αa
1
n
. . . . . . . . . . . . . .
αa
n
1
. . . αa
n
n
!
=
αa
1
1
. . . αa
1
n
. . . . . . . . . . . . . .
αa
n
1
. . . αa
n
n
= α
n
a
1
1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . .
a
n
1
. . . a
n
n
= α
n
det A,
что и требовалось показать.
3.4. Методы вычисления определителей
I. Непосредственное вычисление всех членов определителя
Этот метод предполагает вычисление определителей непосредственно из опре-
деления (3.2) (см., на пример, примеры 3.4 и 3.5).
Отметим, что вычисление определителей 4-го и более высоких порядков
непосредственно по правилу (3.2) весьма трудоемко и фактически не применя-
ется. Так, например, для определителей 4-го порядка нужно выписать 4! = 24
слагаемых, а для определителей 5-го порядка — уже 5 ! = 120 и т.д.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- …
- следующая ›
- последняя »
