Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 39
II. Понижение порядка определителя
1. Разложение определителя по одной или нескольким строкам (столбцам)
Пример 3.15. Вычислить det A матрицы A из примера 3.6.
Решение. 1 способ. Разложим определитель по первой строке, согласно опре-
делению (3.28):
det A =
2 2 1
1 2 1
3 1 0
= 2(−1)
1+1
2 1
1 0
+ 2(−1)
1+2
1 1
3 0
+ 1(−1)
1+3
1 2
3 1
=
= 2(−1) − 2(−3) − (−5) = −2 + 6 + 5 = −1.
Разложение по первой строке не самое удачное. Очевидно, что разложение
по 3-ей строке или 3-ему столбцу предпочтительнее, поскольку они содержат
нулевой элемент. В результате нужно будет найти всего лишь два алгебраиче-
ских дополнения, а не три, как для 1-ой строки.
2 способ. Провед¨ем разложение по 3-ей строке:
2 2 1
1 2 1
3 1 0
= 3(−1)
3+1
2 1
2 1
+ 1(−1)
3+2
2 1
1 1
+ 0(−1)
3+3
2 2
1 2
=
= 0 − (2 − 1) + 0 = −1.
3 способ. И, наконец, вычислим определитель, воспользовавшись разложе-
нием по дв ум строкам — 1-ой и 2-ой:
2 2 1
1 2 1
3 1 0
=
2 2
1 2
(−1)
1+2+1+2
· 0 +
2 1
1 1
(−1)
1+2+1+3
· 1 +
2 1
2 1
(−1)
1+2+2+3
· 3 =
= 0 − (2 − 1) + 0 = −1.
Как видим, математические выкладки при разложении определителя по
3-ей строке и строкам 1-ой и 2-ой совершенно идентичны. Это объясняется тем,
что в обоих разложениях присутствуют миноры, представляющие собой пары
взаимно дополнительных миноров. Аналогично проводятся и другие возмож-
ные разложения.
2. Получение максимального числа нулей в одной или нескольких строках
(столбцах) определителя
Умножая элементы строк или столбцов на определенным образом выбран-
ные ко эффициенты, а затем складывая столбцы или строки, можно достичь
того, что все элементы некоторого столбца или некоторой строки, за исключе-
нием одного, обратятся в нуль. Тогда исходный определитель равен взято му со
знаком плюс или минус произведению этого элемента на соответствующий ему
дополнительный минор, представляющий собой о пределитель (n −1)-го поряд-
ка. О пределитель (n −1)-го порядка по этой же схеме сводится к определителю
(n −2)-го порядка и т.д. Если все элементы строки (столбца) обратятся в нуль,
то определитель, естественно, б удет равен нулю.
Пример 3.16. Вычислить det A матрицы A из примера 3.6.

Страницы