Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 35
Тогда det A равен произведению двух миноров:
det A =
a
1
1
. . . a
1
k
. . . . . . . . . . .
a
k
1
. . . a
k
k
a
k+1
k+1
. . . a
k+1
n
. . . . . . . . . . . . . . .
a
n
k+1
. . . a
n
n
.
Доказательство очевидным о бразом вытекает из разложения det A по первым
k строкам с уч¨етом того, что
S
M
= (1 + 2 + . . . + k) + (1 + 2 + . . . + k) = 2(1 + 2 + . . . + k)
или (−1)
S
M
= 1.
Следствие 3.2.2. Пусть в квадрат ной матрице A ра змером n = 2 k все элемен-
ты, стоящие в первых k строках и столбцах, равны нулю:
A =
0 . . . 0 a
1
k+1
. . . a
1
2k
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 a
k
k+1
. . . a
k
2k
a
k+1
1
. . . a
k+1
k
a
k+1
k+1
. . . a
k+1
2k
a
2k
1
. . . a
2k
k
a
2k
k+1
. . . a
2k
2k
.
Тогда det A рав ен произведению двух миноров:
det A = (−1)
k
a
1
k+1
. . . a
1
2k
. . . . . . . . . . . . . .
a
k
k+1
. . . a
k
2k
a
k+1
1
. . . a
k+1
k
. . . . . . . . . . . . . . .
a
2k
1
. . . a
2k
k
.
Доказательство очевидным образом вытекает из разложения det A по первым
k строкам с уч¨етом того, что
S
M
= (1 + 2 + . . . + k) + [(k + 1) + (k + 2) + . . . + (k + k)] =
= k · k + 2(1 + 2 + . . . + k ) = k
2
+ k(k + 1 ) = 2k
2
+ k
или (−1)
S
M
= (−1)
k
.
Верн¨емся к сво йствам определителей, рассмотренным в предыдущем разде-
ле. Мы не будем повторно формулировать эти свойства, а рассмо трим только
два из них, при доказательстве которых использовалась формула (3.4). Теперь
мы докажем их, исходя из разложения (3.28) или (3.29), а заодно докажем и
свойство 7.
Доказательство свойства 2. Как и ранее, рассмотрим матрицы A и B, в
которых переставлены столбцы с номерами i и j. Пусть i < j. Рассмотрим
сначала случай, когда j = i + 1, т.е.
A =
a
1
1
. . . a
1
i
a
1
i+1
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
. . . a
n
i
a
n
i+1
. . . a
n
n
!
, B =
a
1
1
. . . a
1
i+1
a
1
i
. . . a
1
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n
1
. . . a
n
i+1
a
n
i
. . . a
n
n
!
.
Для вычисления det A разложим его по элементам i-го столбца, а для вычисле-
ния det B — по элементам (i+1)-го столбца. Учт¨ем, что элементы этих столбцо в
равны и равны их дополнительные миноры. Тогда
det A =
n
X
l=1
a
l
i
(−1)
i+l
M
l
i
,

Страницы