ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 29
которые можно также записать в более наглядной форме, воспользовавшись
явным видом миноров M
i
j
= a
i
j
:
det A =
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
= a
1
1
A
1
1
+ a
1
2
A
1
2
= a
2
1
A
2
1
+ a
2
2
A
2
2
=
= a
1
1
A
1
1
+ a
2
1
A
2
1
= a
1
2
A
1
2
+ a
2
2
A
2
2
. (3.21)
Формулы (3.20) и (3 .2 1) выражают основную идею индуктивного подхода к
построению определителей: значение определителя det A можно получить, сум-
мируя произведения элементов любой строки (столбца) на их алгебраические
дополнения, или в более общей формулировке: суммируя произведения в сех
миноров k-го порядка в выбранных k строках (столбцах) на их алгебраические
дополнения.
Ниже нам предстоит доказать это утверждение для общего случая — для
определителей любого порядка. З аметим, что при выводе формул (3 .2 0) и (3.21)
мы воспользовались формулой (3.2), вытекающей из аксиоматического опреде-
ления (3.1). Однако эти формулы можно получить совершенно независимо от
аксиоматического определения, воспользовавшись, например, формализован-
ной записью решения
x
1
=
b
1
a
2
2
− b
2
a
1
2
a
1
1
a
2
2
− a
1
2
a
2
1
=
b
1
a
1
2
b
2
a
2
2
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
;
x
2
=
b
2
a
1
2
− b
1
a
2
1
a
1
1
a
2
2
− a
1
2
a
2
1
=
a
1
2
b
1
a
2
1
b
2
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
системы двух линейных алгебраических уравнений
a
1
1
x
1
+ a
1
2
x
2
= b
1
,
a
2
1
x
1
+ a
2
2
x
2
= b
2
.
Это позволяет рассматривать два подхода совершенно независимо друг от дру-
га, с одной стороны, а с другой — подчеркнуть их эквивалентность, указав лишь
внешнее различие этих формулировок.
Проиллюстрируем это утверждение на примере определителя 3-го порядка,
а затем перейдем к определителям произвольного порядка.
Пример 3.12. Для матрицы
A =
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
2
1
a
2
2
a
2
3
a
3
1
a
3
2
a
3
3
!
записать det A разложением по минорам 2-го порядка, расположенным во 2-й
и 3-й строках.
Решение. Выделив в матрице A 2-ю и 3-ю строки, мы можем записать всего
три минора 2-го порядка, расположенных в этих строках:
M
2,3
1,2
=
a
2
1
a
2
2
a
3
1
a
3
2
= a
2
1
a
3
2
− a
2
2
a
3
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- …
- следующая ›
- последняя »
