Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 1. Матрицы и определители
Решение. Наличие единиц в о пределителе позволяет с помощью тр¨ех преоб-
разований получить три нулевых элемента в одной строке (столбце). Покажем,
что этого можно достичь с помощью двух операций. Действительно, вычтем из
4-й строки 1-ю:
det A =
3 3 1 2
3 1 2 3
2 1 4 2
14 5 5 13
=
S
4
−S
1
3 3 1 2
3 1 2 3
2 1 4 2
11 2 4 11
,
а теперь из 1-го сто лбца 4-ый:
det A =
3 3 1 2
3 1 2 3
2 1 4 2
11 2 4 11
R
1
−R
4
=
1 3 1 2
0 1 2 3
0 1 4 2
0 2 4 11
.
В результате получим столбец, содержащий три нулевых элемента, следова-
тельно,
det A =
1 3 1 2
0 1 2 3
0 1 4 2
0 2 4 11
=
1 2 3
1 4 2
2 4 11
S
2
−S
1
=
S
3
−2S
1
1 2 3
0 2 −1
0 0 5
=
2 −1
0 5
= 10.
Пример 3.21. Вычислить
det A =
1 2 −1 −3
1 2 2 −2
2 4 −1 −4
3 4 −1 −3
.
Решение. В определителе провед¨ем указанные операции:
det A =
1 2 −1 −3
1 2 2 −2
2 4 −1 −4
3 4 −1 −3
S
2
−S
1
=
S
3
−2S
2
1 2 −1 −3
0 0 3 1
0 0 1 2
3 4 −1 −3
.
Далее вместо получения третьего нулевого элемента воспользуемся разложе-
нием определителя по 2-й и 3-й строкам, поскольку только один минор 2-го
порядка в этих строках отличен от нуля. Тогда
det A =
1 2 −1 −3
0 0 3 1
0 0 1 2
3 4 −1 −3
=
3 1
1 2
(−1)
2+3+3+4
1 2
3 4
=
3 1
1 2
1 2
3 4
= 5·(−2) = −10.
Следует отметить , что особенно важное значение рассматриваемый способ
приобретает для определителей в ысших порядков. Действительно, если опре-
делитель 3-го порядка можно без затруднений разложить по строке, не содер-
жащей нулей, то для определителей 4-го порядка требуется уже получить хотя
бы два нулевых элемента, тогда как для определителя 5-го порядка — все че-
тыре нулевых элемента в строке, в противном случае число арифметических
вычислений существенно возрастает.

Страницы