ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44 Глава 1. Матрицы и определители
Далее, действуя, как и в предыдущих примерах, имеем
det A =
0 −1 −3 −1
−3 4 −5 3
−5 7 −7 5
8 −8 5 −6
S
2
+3S
1
=
S
3
+5S
1
S
4
−6S
1
0 −3 −3 −1
−3 1 −14 0
−5 2 −22 0
8 −2 23 0
=
=
−3 1 −14
−5 2 −22
8 −2 23
S
2
−2S
1
=
S
2
+2S
1
−3 1 −14
1 0 6
2 0 −5
= −
1 6
2 −5
= −(−5 − 12) = 17.
♦ Можно также в исходном определителе вычесть из 2-го столбца 4-й, а из
3-го — 4-й же, умноженный на 3, а затем разложить по 1-й строке .
3. Приведение определителя к треугольному виду
Этот способ является некоторым видоизменением предыдущего и состоит в
преобразовании определителя к такому виду, когда элементы, стоящие по одну
сторону от главной (побочной) диагонали, равны нулю. Последний определи-
тель равен произведению элементов главной диагонали (побочной диагонали,
умноженному на (−1)
n(n−1)/2
).
Наличие множителя (−1)
n(n−1)/2
наглядно иллюстрирует следующий при-
мер.
Пример 3.24. Показать, что определитель
det A = ∆
n
=
0 0 . . . 0 a
1
n
0 0 . . . a
2
n−1
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 a
n−1
2
. . . a
n−1
n−1
a
n−1
n
a
n
1
a
n
2
. . . a
n
n−1
a
n
n
= (−1)
n(n−1)/2
n
Y
i=1
a
n+1−i
i
.
Решение. Разложение определителя ∆
n
по первому столбцу приводит к опре-
делителю порядка (n − 1):
∆
n
= a
1
n
(−1)
1+n
0 0 . . . 0 a
1
n
0 0 . . . a
2
n−1
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n−1
2
a
n−1
3
. . . a
n−1
n−1
a
n−1
n
,
который ещ¨е одним разложением по 1-му столбцу сводится к определителю
порядка (n − 2):
∆
n
= a
1
n
(−1)
1+n
∆
n−1
= a
1
n
a
2
n−1
(−1)
(1+n)+(1+n−1)
0 0 . . . a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n−2
3
a
n−2
4
. . . a
n−2
n
.
Продолжив, получим
∆
n
= a
1
n
a
2
n−1
a
3
n−2
···a
n
1
(−1)
(1+n)+(1+n−1)+(1+n −2)+...+(1+2)
.
Поскольку показат ель степени у (−1) представляет собой сумму а рифметиче-
ской прогрессии, то
(n + 1) + n + (n − 1) + . . . + 3 =
(n + 1 + 3)(n + 1 − 2)
2
=
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
