ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
46 Глава 1. Матрицы и определители
Решение. Как б ыло показано в примере 3.20, исходный определитель можно
записать в виде
det A =
3 3 1 2
3 1 2 3
2 1 2 3
14 5 5 13
=
3 3 1 2
3 1 2 3
2 1 4 2
14 2 4 13
=
1 3 1 2
0 1 2 3
0 1 4 2
0 2 4 11
,
который можно привести к треугольному виду, вычтя из третьей строки вто-
рую, а из четвертой — удвоенную вторую:
det A =
1 3 1 2
0 1 2 3
0 0 2 −1
0 0 0 5
= 1 · 1 ·2 ·5 = 10.
♦ Описанный выше метод неудобен в случае определителей с буквенными
символами или определителей высокого порядка с числовыми коэффициента-
ми. Общих способов вычисления таких определителей не существует, если не
считать вычисления непосредственно по определению. К определителям раз-
личных специальных видов применяются различные методы вычисления, при-
водящие к более простым выражениям, чем полученные непосредственно из
определения.
III. Метод рекуррентных соотношений
Этот метод заключается в т ом, что исходный определитель выра жается че-
рез определитель того же вида, но более низкого порядка. В результате полу-
чается рекуррентная формула вида
∆
n
= f(∆
n−1
, ∆
n−2
, . . . , ∆
n−k
),
верная для всех натуральных n > k. Из этого соотношения методом математи-
ческой индукции (или дедукции) получают формулу, с помощью которой опре-
делитель ∆
n
выражается через ∆
1
, . . . , ∆
k
и n.
Пример 3.28. Вычислить определитель матрицы
A =
p c 0 0 . . . 0
c p c 0 . . . 0
0 c p c . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . p
. (3.32)
Решение. Разложим его по элементам первого столбца. Получим
|A| = ∆
n
=
p c 0 0 . . . 0
c p c 0 . . . 0
0 c p c . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . p
= p∆
n−1
− c
c 0 0 . . . 0
c p c . . . 0
0 c p . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . p
.
Последний определитель разложим по элемента м первой строки и получим
∆
n
= p∆
n−1
− c
2
∆
n−2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- …
- следующая ›
- последняя »
