ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Определитель и его свойства 47
Положим теперь p = a + b. Тогда
∆
n
− a∆
n−1
= b
∆
n−1
−
c
2
b
∆
n−2
или
∆
n
− b∆
n−1
= a
∆
n−1
−
c
2
a
∆
n−2
.
Если c
2
/b = a и c
2
/a = b, т.е. ab = c
2
, то обе формулы о писывают геометриче-
скую прогрессию, где
ab = c
2
,
a + b = p.
(3.33)
Согласно теореме Виета, запишем уравнение z
2
−pz + c
2
= 0, корнями которого
являются a и b. Следовательно, можно воспользоваться формулой для n-го
члена геометрической прогрессии:
∆
n
− a∆
n−1
= b
n−2
(∆
2
− a∆
1
),
∆
n
− b∆
n−1
= a
n−2
(∆
2
− b∆
1
).
1. Если a 6= b, то
∆
n
= xa
n
+ yb
n
,
где a и b о пределены в (3.33) и обозначено
x =
∆
2
− b∆
1
a(a − b)
, y =
∆
2
− a∆
1
b(b − a)
.
Из (3.32) нетрудно получить, что
∆
1
= p, ∆
2
= p
2
− c
2
.
2. Если a = b, то a = b = c, p = 2c и исходный определитель примет вид
2c c 0 0 . . . 0
c 2c c 0 . . . 0
0 c 2c c . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 2c
,
что с уч¨етом свойства 3 определителя можно записать как
∆
n
= c
n
D
n
, (3.34)
где
D
n
=
2 1 0 0 . . . 0
1 2 1 0 . . . 0
0 1 2 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 2
. (3.35)
Чтобы вычислить определитель D
n
, разложим его по элементам первого столб-
ца. Получим
D
n
= 2D
n−1
−
1 0 0 . . . 0
1 2 1 . . . 0
0 1 2 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
