Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 1. Матрицы и определители
Последний определитель разложим по элементам первой строки и получим
D
n
= 2D
n−1
− D
n−2
. (3.36)
Исходя из (3.36) , для определителей D
n−1
и D
n−2
можно записать
D
n−1
= 2D
n−2
− D
n−3
,
D
n−2
= 2D
n−3
− D
n−4
.
(3.37)
Подставив (3.37) в (3.36), найд¨ем
D
n
= 2(2D
n−2
− D
n−3
) − D
n−2
= 3D
n−2
− 2D
n−3
,
D
n
= 3(2D
n−3
− D
n−4
) − 2D
n−3
= 4D
n−3
− 3D
n−4
.
Продолжив, получим
D
n
= [(n − 2) + 1]D
n−(n−2)
− [(n − 1) −1]D
n−(n−1)
или
D
n
= (n − 1)D
2
− (n −2)D
1
. (3.38)
Из (3.3 5) легко найти
D
2
=
2 1
1 2
= 3, D
1
= 2.
Подстановка этих значений в (3.38) да¨ет
D
n
= 3(n − 1) − 2(n −2) = n + 1,
откуда с уч¨етом (3.34) имеем
∆
n
= c
n
(n + 1).
Объединив оба случая, значения ∆
n
можно записать как
∆
n
=
xa
n
+ yb
n
, если p 6= 2c,
c
n
(n + 1), если p = 2c.
Пример 3.29. Найти значение определителя n-го по рядка
∆
n
=
1 2 3 4 . . . n − 1 n
2 3 4 5 . . . n 1
3 4 5 6 . . . 1 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n − 1 n 1 2 . . . n − 3 n − 2
n 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
,
называемого циркулянтом.
Решение. Выполнив в определителе указанные действия, получим
∆
n
=
1 2 3 4 . . . n − 1 n
2 3 4 5 . . . n 1
3 4 5 6 . . . 1 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n − 1 n 1 2 . . . n − 3 n − 2
n 1 2 3 . . . n − 2 n − 1
S
2
−S
1
S
3
−S
2
. . . .
=
. . . . . . . .
S
n−1
−S
n−2
S
n
−S
n−1

Страницы