ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
50 Глава 1. Матрицы и определители
= (−1)
n+1
n(n + 1)
2
n
n−2
0 0 . . . 0 −1
0 0 . . . −1 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
−1 0 . . . 0 0
.
Последний определитель (n − 2)-го порядка вычислим с уч¨етом результатов
примера 3.24 и окончательно получим
∆
n
= (−1)
n+1
n(n + 1)
2
n
n−2
(−1)
n−2
(−1)
(n−2)(n−3)/2
=
=
n(n + 1)
2
n
n−2
(−1)
2n−1+(n−2)(n−3)/2
=
= (−1)
(n
2
−n+4)/2
n(n + 1)
2
n
n−2
= (−1)
n(n−1)/2
n(n + 1)
2
n
n−2
.
Пример 3.30. Вычислить определитель Вандермонда
∆
n
=
1 1 1 . . . 1
a
1
a
2
a
3
. . . a
n
a
2
1
a
2
2
a
2
3
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n−2
1
a
n−2
2
a
n−2
3
. . . a
n−2
n
a
n−1
1
a
n−1
2
a
n−1
3
. . . a
n−1
n
,
где верхние индексы обозначают показатель степени, а нижние — номер строки.
Решение. К ак и раньше, выполнив указанные действия, получим
∆
n
=
1 1 1 . . . 1
a
1
a
2
a
3
. . . a
n
a
2
1
a
2
2
a
2
3
. . . a
2
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n−2
1
a
n−2
2
a
n−2
3
. . . a
n−2
n
a
n−1
1
a
n−1
2
a
n−1
3
. . . a
n−1
n
S
2
−a
1
S
1
S
3
−a
1
S
2
∼
. . . . . . . .
S
n
−a
1
S
n−1
=
1 1 1 . . . 1
0 a
2
− a
1
a
3
− a
1
. . . a
n
− a
1
0 a
2
(a
2
− a
1
) a
3
(a
3
− a
1
) . . . a
n
(a
n
− a
1
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 a
n−2
2
(a
2
− a
1
) a
n−2
3
(a
3
− a
1
) . . . a
n−2
n
(a
n
− a
1
)
.
Вынесем теперь в каждом столбце общий множитель, а затем разложим полу-
ченный определитель по 1-му столбцу и по лучим
∆
n
= (a
n
− a
1
)(a
n−1
− a
1
) ···(a
2
− a
1
)
1 1 1 . . . 1
0 1 1 . . . 1
0 a
2
a
3
. . . a
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 a
n−2
2
a
n−2
3
. . . a
n−2
n
=
=
n
Y
i=2
(a
i
− a
1
)
1 1 . . . 1
a
2
a
3
. . . a
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
n−2
2
a
n−2
3
. . . a
n−2
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
