Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

3. Определитель и его свойства 51
Таким образом, мы получили рекуррентное соотношение
∆
n
=
n
Y
i=2
(a
i
− a
1
)∆
n−1
. (3.39)
Применив соотношение (3.39) к определителю ∆
n−1
, найд¨ем
∆
n−1
=
n
Y
j=3
(a
j
− a
2
)∆
n−2
. (3.40)
Тогда
∆
n
=
n
Y
i=2
(a
i
− a
1
)
n
Y
j=3
(a
j
− a
2
)∆
n−2
.
Продолжив аналогичным образом, окончательно получим
∆
n
=
n
Y
i=2
(a
i
− a
1
)
n
Y
j=3
(a
j
− a
2
) ···
n
Y
k=n−1
(a
k
− a
n−2
)
1 1
a
n−1
a
n
=
=
n
Y
i=2
(a
i
− a
1
)
n
Y
j=3
(a
j
− a
2
) ···
n
Y
k=n−1
(a
k
− a
n−2
)(a
n
− a
n−1
) =
Y
16s<i6n
(a
i
− a
s
).
Таким образом,
∆
n
=
Y
16s<i6n
(a
i
− a
s
).
Пример 3.31. Вычислить
∆
n
=
0 1 1 . . . 1
1 a
1
0 . . . 0
1 0 a
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . a
n
.
Реш ение. Выполнив указанные операции, получим
∆
n
=
0 1 1 . . . 1
1 a
1
0 . . . 0
1 0 a
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . a
n
S
1
−S
2
/a
1
S
1
−S
3
/a
2
=
. . . . . . . . .
S
1
−S
n+1
/a
n
=
−
1
a
1
− . . . −
1
a
n
0 0 . . . 0
1 a
1
0 . . . 0
1 0 a
2
. . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 0 0 . . . a
n
,
а разложение последнего определителя по 1-ой строке да¨ет
∆
n
= −
1
a
1
+
1
a
2
+ . . . +
1
a
n
a
1
0 0 . . . 0
0 a
2
0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . a
n
=

Страницы