ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Ранг матрицы и его основные свойства 53
4. Ранг матрицы и его основные свойства
Обобщим понятие минора, введенное ранее для квадрат ных матриц, на слу-
чай прямоугольных матриц.
Рассмотрим матрицу A размера n×m. Как и ранее, минором k-го порядка
(k 6 min(m, n)) матрицы A будем называть определитель M, составленный из
элементов, стоящих на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы
A.
Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок от-
личного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через
r(A) = rang A = rank A.
В матрице A размера m × n минор порядка r называется базисным, если
он о тличен от нуля, а все миноры порядка r + 1 равны нулю или миноров этого
порядка нет вообще, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.
Очевидно, что если r 6 min(m, n), в мат рице может быть несколько разных
базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок, равный
рангу матрицы.
Действительно, все миноры порядка (r + 1) равны нулю по определению.
Равенство нулю миноров порядка (r+2) вытекает из их разложения по нулевым
минорам порядка (r + 1).
Строки и столбцы матрицы A, на пересечении которых расположен ба-
зисный минор, будем называть базисными строками и столбцами.
♦ Если все элементы матрицы равны нулю, то rang A = 0.
♦ В общем случае вычисление ранга матрицы сводится к нахождению ба-
зисного минора. Перебор всех миноров в поисках базисного является задачей,
связанной с большим объемом вычислений, особенно для матриц высших по-
рядков. Наиболее просто ранг матрицы и е¨е базисный минор можно найти с
помощью так называемых элементарных преобразова ний, приводящих ма три-
цу к возможно более простому виду.
Элементарными преобразованиями матрицы на зываются следующие ее
преобразования:
1) транспонирование;
2) перестановка двух строк или двух столбцов;
3) умножение всех элементов столбца или строки на о тличное от нуля число;
4) прибавление ко всем элементам столбца (или строки) элементов другого
столбца (или строки), умноженных на одно и то же число.
Теорема 4.1 (об элементарных преобразованиях). При элементарных пре-
образованиях матрицы ее ранг не меняется.
Доказательство проведем для преобразований 1–4.
1. По свойству определителей каждый минор транспонированной матрицы
A
⊺
равен некоторому минору матрицы A и наоборот. Следовательно, наивыс-
ший порядок отличного от нуля минора не изменится.
2. После перестановки двух строк или столбцов приходим к новой матрице,
каждый минор которой равен некоторому минору матрицы A либо отличается
от него знаком.
3. П ри умножении всех элементов строки или столбца матрицы на число x
одни ее миноры не изменяются, а другие умножаются на то же число x, но так
как x 6= 0, то наивысший по рядок отличного от нуля минора не изменится.
4. Если все миноры r + 1-го порядка равны нулю, то сложение столбцо в не
сделает ни один из них отличным от нуля. Действительно, полученный в ре-
зультате преобразования минор либо равен алгебраической сумме двух миноров
порядка r + 1 (в том случае, когда к столбцу, входящему в минор, прибавили
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
