Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

54 Глава 1. Матрицы и определители
столбец, в него не входящий), либо он равен сумме минора порядка r + 1 и
определителя матрицы с двумя одинаковыми столбцами (в то м случае, когда
к столбцу, входящему в минор, прибавили столбец, также в него входящий).
Из этих соображений следует, что ранг матрицы не повысился. Ясно, что он
не может и понизиться, так как в противном случае вычитанием столбцов его
порядок можно повысить. Аналогично для строк и столбцов, умноженных на
отличное от нуля число.
Две матрицы A и B называются эквивалентными, если о т одной к дру-
гой можно перейти путем конечного числа элементарных преобразований. Для
обозначения эквивалентных матриц используется символ A ∼ B.
Канонической называется матрица, у которой в начале главной диагона-
ли стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а
остальные элементы равны нулю.
♦ При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую мат-
рицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу
единиц на ее главной диагонали.
Действительно, каноническую мат рицу можно рассматривать как матрицу,
содержащую внутри себя единичную, определитель кото рой и я вляется базис-
ным минором, привед¨енным к диагональному виду. Тогда число единиц, стоя-
щих на главной диагонали, и будет определять ранг матрицы.
Пример 4.1. Привести пример каноническо й матрицы A размера 4 × 3, ранг
которой рав ен двум (rang A = 2).
Решение. По определению,
A =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
.
Ранг матрицы A равен двум ( r ang A = 2 ) .
Пример 4.2. Вычислить ранг матрицы
A =
1 2 1 4
0 1 −1 3
2 5 1 11
!
методо м элементарных преобразований.
Решение. Проведем элемента рные преобразования матрицы A. Получим
A =
1 2 1 4
0 1 −1 3
2 5 1 11
!
S
3
−2S
1
∼
1 2 1 4
0 1 −1 3
0 1 −1 3
!
S
3
−S
2
∼
∼
1 2 1 4
0 1 −1 3
0 0 0 0
!
R
2
−2R
1
∼
R
3
−R
1
R
4
−4R
1
1 0 0 0
0 1 −1 3
0 0 0 0
!
R
3
+R
2
∼
R
4
−3R
2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
.
Следовательно, ранг матрицы A равен двум (rang A = 2).
Пример 4.3. Вычислить ранг матрицы
A =
2 1 −1
1 −1 2
4 −1 3
!
методо м элементарных преобразований.

Страницы