ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56 Глава 1. Матрицы и определители
Теперь умножим 2 -й столбец на 1 /3:
A ∼
1 0 0 0
0 1 −7 3
0 0 0 0
!
R
3
+7R
1
∼
R
4
−3R
1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
!
.
Таким образом, rang A = 2.
Векторы (векторы-столбцы, векторы-строки) X
k
, k = 1, m, называются
линейно независимыми, если
X 6= 0, X =
m
X
k=1
C
k
X
k
, (4.1)
для всех чисел C
k
, k = 1, m, отличных от тождественного нуля. В противном
случае векторы X
k
, k = 1, m, называются линейно зависимыми. Вектор X,
определенный соотношением (4.1), называется линейной комбинацией векторов
X
k
, k = 1, m.
Теорема 4.2 (о базисном миноре). В произвольной матрице A каждый
столбец (строка) является линейной комби нацией базисных столбцов (строк).
Доказательство. Исходную матрицу всегда можно привести к канонической
форме, в которой на главной диагонали стоит несколько единиц, а все осталь-
ные элементы матрицы являются нулями. В процессе приведения матрицы к
каноническому виду мы к соответствующим столбцам (строкам) прибавляли
линейные комбинации других столбцов (строк). В канонической матрице базис-
ные столбцы (строки) являются ненулевыми, а небазисные — нулевыми. Значит,
в процессе элементарных преобразований мы к ка ждому небазисному столбцу
(строке) прибавляли такую линейную комб инацию базисных столбцов (строк),
что получили нулевой сто лбец (строку). Это и доказывает линейную зависи-
мость небазисных сто лб цов и строк от базисных.
Следствие 4.2.1. Для квадратной матрицы A поря дка n, у которо й det A = 0,
по крайней мере один столбец (строка) является линейной комбинацией осталь-
ных.
Действительно, поскольку det A = 0, то единственный минор, имеющ ий наивыс-
ший порядок n, равен нулю. Отсюда следует, что порядок базисных миноров,
т.е. ранг матрицы r, удовлетворяет условию r 6 n−1, а потому на основании до-
казанного выше по крайней мере один столбец (строка) не явля ется базисным,
а выражается их линейной комбинацией, что и требовалось доказать.
Следствие 4.2.2. Определитель n-го порядка тогда и только тогда равен ну-
лю, когда между его сто лб цами (строками) существует линейная зависимость.
Первое утверждение теоремы уже доказано как свойство 5 определителей. Из
следствия 4.2.1 вытекает справедливость второго (обратного) утверждения, что
и требовалось доказать.
♦ Ранг матрицы равен порядку базисного минора и, следовательно, равен
максимальному числу независимых строк или столбцов в этой матрице.
Теорема 4.3 (о ранге матрицы). Ранг матрицы A равен максимальному чис-
лу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
