ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
58 Глава 1. Матрицы и определители
столбцов), занимающим первые k строк и столбцов матрицы A. Тогда первые k
столбцов будут линейно независимыми между собой: если бы между ними суще-
ствовала линейная зависимость, то между столбцами минора M существовала
бы эта же линейная зависимость и поэтому минор M был бы равен нулю.
Рассмотрим миноры M
l
, l = 1, m −k:
M
1
=
M
a
k+1
1
. . .
a
1
k+1
. . .
a
k+1
k+1
, M
2
=
M
a
k+2
1
. . .
a
1
k+1
. . .
a
k+2
k+1
, . . . , M
l
=
M
a
k+l
1
. . .
a
1
k+1
. . .
a
k+l
k+1
,
окаймляющ ие минор M.
Эти миноры характеризуются тем, что они последовательно, в до по лнение
к первым k элементам, перебирают все (m − l) оставшиеся элементы (k + 1 )-го
столбца. По условию теоремы, эти миноры равны нулю, из чего в силу след-
ствия 4.2.1 следует линейная зависимость (k+ 1)-го столбца от первых k линейно
независимых столбцов.
Далее меняем местами столбцы с номерами (k + 1) и (k + 2) и выписываем
окаймляющ ие миноры, содержащие элементы (k + 2)-го столбца. Затем меняем
местами (k + 2)-й и (k + 3)-й столбцы и так далее. Из равенства нулю всех этих
окаймляющ их миноров следует линейная зависимость всех столбцов с номерами
(k + 1) и более от первых k линейно независимых столбцов. Но тогда в силу
теоремы 4.3 ранг матрицы A действительно равен k. Таким образом, теорема
доказана.
Эта теорема, как уже отмечалось, да¨ет ещ¨е один метод практического в ы-
числения ра нга матрицы, называемый методом окаймляющих миноров. Само
доказательство теоремы зада¨ет алгоритм метода. При вычислении ранга ма т-
рицы следует переходить от миноров меньших порядков к минорам высших
порядков. Если уже найден некоторый минор M порядка k, отличный от нуля,
то вычисляются не все миноры (k + 1)-го порядка (как это го требует определе-
ние), а лишь окаймляющие минор M (как того требует теорема): если все они
равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Пример 4.5. Вычислить ранг матрицы
A =
1 2 1 4
0 1 −1 3
2 5 1 11
!
методом окаймляющих миноров.
Решение. Поскольку мат рица ненулевая, то у нее существует минор первого
порядка, отличный от нуля. Вычислим минор второго порядка, стоящий в левом
верхнем углу
1 2
0 1
= 1 6= 0.
Вычислим окаймляющие его миноры третьего порядка
1 2 1
1 1 −1
2 5 1
= 0,
1 2 4
0 1 3
2 5 11
= 0.
Следовательно, rang A = 2.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
