ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
60 Глава 1. Матрицы и определители
2. Если матрицы A и B являются квадратными порядка n, то справедлива
оценка
rang(AB) > rang A + rang B − n.
3. Если rang A = n (det A 6= 0), то из предыдущих оценок следуют равенства
rang(AB) = rang(BA) = rang B.
4. Ранг суммы матриц A и B удовлетворяет оценке
rang(A + B) 6 rang A + rang B.
5. При умножении матриц на число α, отличное от нуля, е¨е ранг не меняется,
т.е. rang(αA) = rang A.
Докажем, например, соотношения 1. Для доказательства составим матрицу
C из столбцов матрицы A и матрицы AB, т.е.
C = (A
.
.
. AB).
Очевидно, чт о rang AB 6 rang C. Поскольку, согласно определению произ-
ведения матриц, столбцы из AB являются линейной комбинацией столбцов
матрицы A с коэффициентами b
i
j
(элементы B), то rang C = rang A, откуда
rang(AB) 6 rang A.
Аналогично доказывается, что rang(AB) 6 rang B, только в этом случае
следует составить матрицу C
′
из строк матриц B и AB:
C
′
=
B
. . .
AB
!
.
Пример 4.8. Привести пример матриц одного ранга, произведения кото рых
имеют разные ранги.
Решение. Рассмотрим три матрицы 2-го порядка
A =
1 0
0 0
, B =
5 0
0 0
, C =
0 0
3 0
с рангом, равным единице: rang A = rang B = rang C = 1.
Для произведения
AB =
1 0
0 0
5 0
0 0
=
5 0
0 0
rang(AB) = 1, а для произведения
AC =
1 0
0 0
0 0
3 0
=
0 0
0 0
rang(AC) = 0, т.е. rang(AB) 6= rang(AC).
Пример 4.9. Привести пример матриц A и B, для которых rang(AB) 6= rang(BA).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
