ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
62 Глава 1. Матрицы и определители
Аналогично
¯
AA = (det A) · I.
Следовательно,
A
−1
=
1
det A
¯
A, (5.4)
что и требовалось доказать.
Формула (5.4) определяет алгоритм вычисления матрицы A
−1
, обратной
невырожденной матрице A.
Обратные матрицы удовлетворяют следующим свойствам.
Свойство 1. Справедливо соотношение
(AB)
−1
= B
−1
A
−1
.
Действительно, умножение этого соотнош ения на (AB) слева да¨ет
(AB)(AB)
−1
= (AB)B
−1
A
−1
= ABB
−1
A
−1
= AIA
−1
= AA
−1
= E,
что и доказывает справедливость исходного соотношения. Очевидно, что
(αA)
−1
=
1
α
A
−1
.
Свойство 2. Справедливо соотношение
(A
−1
)
⊺
= (A
⊺
)
−1
.
Действительно, из определения имеем AA
−1
= A
−1
A = I. Транспонируем левую
и правую части этого рав енства. Согласно свойству (2.6), получим произведение
матриц
(A
−1
)
⊺
A
⊺
= A
⊺
(A
−1
)
⊺
= I,
но поскольку I = (A
⊺
)
−1
A
⊺
= A
−1
(A
⊺
)
−1
, то по определению обратной матрицы
утверждение доказано.
Свойство 3. Справедливо соотношение
(A
−1
)
−1
= A.
Действительно, умножив это равенство слева на A
−1
, получим A
−1
(A
−1
)
−1
=
A
−1
A = I, что и требовалось доказать.
Свойство 4. Справедливо соотношение
det(A
−1
) = (det A)
−1
,
которое следует из (5.3).
Пример 5.1. Найти матрицу, обратную к матрице
A =
1 2 −3
0 1 2
0 0 2
!
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
