Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 1. Матрицы и определители
A
3
2
= −
1 0 0 . . . 0
1 1 0 . . . 0
1 1 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . 1
, . . . , A
n
2
= (−1)
n+2
1 0 0 . . . 0
1 1 1 . . . 0
1 1 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . .
1 1 1 . . . 1
и т.д. Союзная матрица после упрощения примет вид
¯
A =
1 −1 0 . . . 0
0 1 −1 . . . 0
0 0 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 . . . 1
и совпад¨ет с обратной:
¯
A = A
−1
, поскольку det A = 1.
♦ Следует отметить, что вычисление присоединенной матрицы
¯
A
⊺
по фор-
муле (5.4) очень трудо¨емко, особенно для матриц высокого порядка. Поэтому
на практике пользуются другими методами вычисления обратной матрицы, на-
пример методом элементарных преобразований.
Лемма 5.1 ( об элементарных преобразованиях). Все элементарные пре-
образования над строками матрицы A размера m×n равносильны умножению
е¨е слева на нек оторые невырожденные квадратные матрицы размера m.
Доказательство. Пусть I – единичная матрица размера m. Рассмотрим мат-
рицу S(i, j), получаемую из единичной перестановкой е¨е i-ой и j-ой строк. Тогда
произведение S(i, j)A, согласно определению, да¨ет матрицу, отличающуюся от
A перестановкой строк с номерами i и j.
Далее рассмотрим матрицу S(1; i, i; α), получаемую из единичной заменой
i-ой единицы на главной диагонали числом α 6= 0. Тогда умножение S(1; i, i; α)
слева на A равносильно умножению i-ой строки матрицы A на число α.
Наконец, рассмотрим матрицу S(0; i, j; 1), получаемую из единичной заме-
ной нулевого элемента, стоящего на пересечении i-ой строки и j-го столбца, на
единицу. Умножение S(0; i, j; 1) на A слева равносильно сложению i-о й и j-ой
строк.
Очевидно, что
det S(i, j) = −1, det S(1; i, i; α) = α, det S(0; i, j; 1) = 1.
Таким образом, выполнение элементарных преобразований над строками мат-
рицы A действительно соответствует умножению е¨е слева на указанные выше
матрицы S.
Элемента рные преобразования сто лб цо в осуществляются аналогичными мат-
рицами порядка n умножением на них матрицы A справа.
Пример 5.3. Над матрицей
A =
1 2 0 3
2 2 1 0
1 1 2 1
!
с помощью матриц S провести следующие преобразова ния:
1) поменять местами 2-ю и 3-ю строки;
2) к 1-й строке прибавить 2-ю;
3) к 1-й строке прибавить 3-ю, умноженную на α.

Страницы